Bộ chinh phục luyện thi vào 10 môn Toán năm 2023 Phần 1: Các chuyên đề hay và khó

Chuyên đề 1. PHƯƠNG TRÌNH
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Đối với phương trình vô tỷ (tức là phương trình có chứa ẩn trong dấu căn), điều cần lưu ý nhất là tính
không thuận nghịch của các phép toán. Chẳng hạn nếu trong một phương trình nào đó, bạn thay
(với và là các biểu thức nào đó của ) bởi
thì tập xác định của phương trình rất có thể bị mở rộng, bởi vì chỉ xác dịnh khi và trong khi xác định ngay cả khi và
. Vậy bạn chỉ thu được một phương trình hệ quả. Ngược lại, nếu thay thế bởi
thì tập xác định có thể bị thu hẹp lại, do đó bạn rất dễ bị bỏ sót nghiệm. Điều đó cảnh báo rằng khi thực
hiện một phép tính về căn thức, để biến đổi một phương trình thì nói chung bạn không được phương
trình tương đương. Để tránh các sai sót kiểu như thế, người ta dùng một trong các cách sau:
Cách 1: Nếu chắc chắn phép biến đổi chỉ cho phương trình hệ quả thì ở bước cuối cùng, ta dùng phép
thử trực tiếp vào phương trình để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Ví dụ: Giải phương trình Giải:
Phương trình đã cho, suy ra:
Thử trực tiếp vào phương trình, ta thấy thỏa mãn, còn không thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là: .
Cách 2: Ghi nhớ tập xác định của phương trình và các điều kiện cần thiết khác trước khi biến đổi
phương trình. Nếu phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thì nghiệm ngoại lai chính là các giá trị
của ẩn không nằm trong tập xác định hoặc không thỏa mãn các điều kiện đã nêu. Đôi khi, chính tập xác
định và các điều kiện ấy sẽ đem lại những gợi ý hữu ích cho bạn trong quá trình giải phương trình. Ví dụ:

Giải phương trình

Giải: Điều kiện + Xét , thỏa mãn phương trình + Xét
phương trình đã cho tương đương với
(vô nghiệm vì giá trị của căn thức không thể bằng một số âm) + Xét
, phương trình đã cho tương đương với Nhận thấy không thỏa mãn nên bị loại.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: Cách 3
Chú ý đến các điều kiện xác định của phương trình, các điều kiện để thực hiện các phép biến đổi đồng
nhất hay biến đổi tương đương phương trình và đặt các điều kiện đó cùng với phương trình trong một hệ
hỗn hợp (cả phương trình và bất phương trình). Hệ này sẽ tương đương với phương trình đã cho.
Nhưng dù theo cách nào thì bạn cũng phải chú ý đến các điều kiện nảy sinh trong quá trình biến đổi
phương trình, đặc biệt là sự thay đổi tập xác định của phương trình. Điều đó sẽ giúp bạn có những quyết
định đúng đắn khi giải phương trình.
Dưới đây là một số đồng nhất thức có điều kiện thường gặp: Đồng nhất thức Điều kiện * DẠNG 1: và
Phương pháp: Sử dụng
công thức của định nghĩa và
căn bậc hai số học và và và
và

Chú ý: Sau khi tìm nghiệm của bài toán xong, chúng ta nên thử lại nghiệm để tránh sai sót trong tính toán. Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải:
Phương trình tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm là: Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải:
Phương trình tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm là: