Chuyên đề 2. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

CHUYÊN ĐỀ 2_ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
 Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là hệ thức dạng: ax  by  c , trong đó a,b,c là những số cho
trước, a  0 hoặc b  0 .
 Cho phương trình bậc nhất hai ẩn x, y : ax  by  c . Nếu ax  by  c là một khẳng định đúng thì 0 0
cặp số  x ; y được gọi là một nghiệm của phương trình ax  by  c . 0 0 
 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , mỗi nghiệm của phương trình ax  by  c được biểu diễn bởi một
điểm. Nghiệm x ; y được biểu diễn bởi điểm có toạ độ x ; y . 0 0  0 0 
Ta cũng áp dụng được quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân đã biết ở phương trình bậc nhất một ẩn để biến đổi
phương trình bậc nhất hai ẩn.
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn     ax by c
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: 
, (I), ở đó mỗi phương trình ax  by  c a x   bb y    c và a x   b y
  c đều là phương trình bậc nhất hai ẩn.
 Nếu cặp số x ; y là nghiệm của từng phương trình trong hệ (I) thì cặp số x ; y được gọi là 0 0  0 0  nghiệm của hệ (I).
Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương trình đó.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1:
Một buổi chiếu phim có hai loại vé: vé người lớn giá 50 nghìn đồng và vé trẻ em giá 20 nghìn
đồng. Biết rằng tổng số tiền bán vé thu được trong buổi đó là 2 triệu đồng.
a) Gọi x là số người lớn, y là số trẻ em xem phim trong buổi chiếu phim đó (x, y  ) . Hãy lập
phương trình bậc nhất hai ẩn đối với hai ẩn x và y .
b) Hãy chỉ ra một nghiệm (x; y) với x, y 
của phương trình lập ở câu a để tìm một phương
án về số khán giả xem phim sao cho đạt doanh thu bán vé như trên. Câu 2:
Bác Hương bán hàng tạp hoá và có (đủ nhiều) các tờ tiền lẻ loại 2 nghìn đồng và 5 nghìn đồng.
Bác cần trả lại cho một người mua hàng 25 nghìn đồng.
a) Gọi x là số tờ tiền loại 2 nghìn đồng, y là số tờ tiền loại 5 nghìn đồng mà bác Hương cần
trả lại cho khách (x, y  ) . Hãy lập phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y .
b) Hãy chỉ ra một nghiệm (x; y) với x, y 
của phương trình lập ở câu a để tìm một phương
án trả lại tiền thừa cho khách giúp bác Hương. Câu 3:
Một đội công nhân cần phải lắp đường ống dẫn nước trên một đoạn phố thẳng dài 65 m. Có hai
loại ống dài 3 m và 5 m. Hãy chỉ ra ít nhất hai phương án lắp ống để không cần phải cưa ống ra
(coi rằng các mối nối là không đáng kể). Câu 4:
Bác Ninh có hai khoản tiền thu được do bán bàn ăn và bàn làm việc cho công ty A . Bàn ăn giá
500000 đồng/chiếc, bàn làm việc giá 700000 đồng/chiếc. Bác Ninh thu được tổng số tiền
11200000 đồng từ hai khoản tiền trên. Viết phương trình bậc nhất hai ẩn cho tổng số tiền bác
Ninh thu được từ hai khoản tiền do bán bàn ăn và bàn làm việc cho công ty A và chỉ ra hai
nghiệm của phương trình đó. Câu 5:
Hai trường A và B có tổng cộng 180 học sinh tham gia ngày hội STEM. Biết rằng 15% học
sinh trường A tham gia và 10% học sinh trường B tham gia đạt giải. Tổng số học sinh hai
trường A và B đạt giải là 22 học sinh. Gọi x và y lần lượt là số học sinh của trường A và
trường B tham gia ngày hội đó.
a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
b) Cặp số 80;100 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao? Câu 6:
Ba bạn An, Bình, Chi cùng đi nhà sách. Cả ba bạn đã mua hết 279000 đồng. Ba bạn đã mua 3
quyển truyện với giá 45000 đồng/quyển và mua thêm bút bi, bút chì màu. Giá của bút bi và bút
chì màu lần lượt là 3600 đồng/chiếc và 5000 đồng/chiếc. Gọi x và y lần lượt là số chiếc bút bi
và bút chì màu mà ba bạn đã mua. Viết phương trình bậc nhất hai ẩn cho số tiền mà ba bạn đã
dùng để mua bút bi, bút chì màu và chỉ ra một nghiệm của phương trình đó. Câu 7:
Cô Hà sử dụng dịch vụ điện thoại di động với giá cước gọi nội mạng và gọi ngoại mạng lần lượt
là 1190 đồng/phút và 1390 đồng/phút. Trong tháng 10, cô Hà đã sử dụng 500 phút gọi (cả nội
mạng và ngoại mạng) với tiền cước là 635000 đồng. Gọi x và y lần lượt là số phút gọi nội mạng
và ngoại mạng trong tháng 10 của cô Hà.
a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
b) Cặp số (300 ; 200) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao? Câu 8:
Người ta chia một khu đất có dạng hình chữ nhật thành hai mảnh đất: mảnh đất thứ nhất có dạng
hình vuông với độ dài cạnh x  m ; mảnh đất thứ hai có đạng hình chữ nhật với chiều dài x m
và chiều rộng y  m(x  y  0) được minh hoạ ở Hinh 3. Chu vi của mảnh đất thứ nhất lớn hơn
chu vi của mảnh đất thứ hai là 6,8 m . Trên một cạnh là chiều dài của khu đất, người ta đã xây
một tường rào với chi phí 1130000 đồng theo giá 50000 đồng/mét.
a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
b) Cặp số 13;9,6 có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao? Hinh 3 Câu 9:
Một ô tô đi từ địa điểm A đến địa điểm B với tốc độ x  km / h thì đi hết y (giờ) với x 10
và y  0, 5 . Nếu tốc độ của ô tô giảm 10 km / h thì thời gian ô tô đi tăng 45 phút. Nếu tốc độ của
ô tô tăng 10 km / h thì thời gian ô tô đi giảm 30 phút.
a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
b) Cặp số (50 ; 3) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?
Câu 10: Một khu du lịch sinh thái bán vé vào cửa với giá 80 nghìn đồng mỗi vé, người cao tuổi được
giảm giá 20 nghìn đồng mỗi vé. Vào một ngày cuối tuần, khu du lịch đã bán được 525 vé và thu về 35,8 triệu đồng.
Gọi x là số vé bán được ở mức giá 80 nghìn đồng và y là số vé bán được ở mức giá chiết khấu là 60 nghìn đồng.
a) Hãy viết một hệ hai phương trình liên quan đến các biến x và y .
b) Giải hệ hai phương trình nhận được ở câu a để cho biết mỗi loại vé đã bán được bao nhiêu?
Câu 11: Trong kinh tế học, đường IS là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp thu nhập
Y và lãi suất r để duy trì trạng thái cân bằng của thị trường hàng hoá trong nền kinh tế. Đường
LM là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp giữa thu nhập Y và lãi suất r duy
trì trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ trong nền kinh tế. Trong một nền kinh tế, giả sử mức
thu nhập cân bằng Y (tính bằng triệu đô la) và lãi suất cân bằng r thoả mãn hệ phương trình
0,06Y  5000r  240 
. Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng.
0,06Y  6000r  900.
Câu 12: Phương trình cung và phương trình cầu của một loại thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là:
Phương trình cầu: p  150  0,00001x ; Phương trình cung: p  60  0,00002x ;
trong đó p là giá mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng đô la) và x là số lượng đơn vị sản phẩm. Tìm
điểm cân bằng của thị trường này, tức là điểm ( p; x) thoả mãn cả hai phương trình cung và cầu.
Câu 13: Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi, câu hỏi
đúng/sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi
câu hỏi đúng/sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm. Thầy Nam
muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/sai.
a) Gọi số câu hỏi đúng/sai là x , số câu hỏi nhiều lựa chọn là y  * x, y 
 . Viết hệ hai phương
trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi.
b) Giải hệ phương trình trong câu a để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra là bao nhiêu.
Câu 14: Một công ty sản xuất đĩa CD có giá sản xuất là 15 nghìn đồng cho một đĩa CD. Công ty có chi
phí cố định hằng tháng là 120 triệu đồng (là chi phí mà công ty phải thanh toán định kì hằng
tháng, dù không sản xuất gì). Nếu mỗi đĩa CD có thể bán với giá 30 nghìn đồng thì mỗi tháng
phải bán được bao nhiêu đĩa CD để hoà vốn? Đĩa CD
Để trả lời câu hỏi này, hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Xác định công thức tính tổng chi phí C khi công ty sản xuất x chiếc đĩa CD trong tháng.
b) Xác định công thức tính doanh thu R khi công ty bán được x chiếc đĩa CD.
Từ đó, sử dụng hai công thức đã lập để xác định điểm hoà vốn trong sản xuất, tức là mức sản
xuất và bán được để tổng chi phí sản xuất bằng với doanh thu.
Câu 15: Vào năm 2005, có tổng cộng 55 lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trên toàn thế
giới. Ngoài ra, số lần phóng vệ tinh phi thương mại nhiều hơn 1 lần so với hai lần số lần phóng
vệ tinh thương mại. Tính số lần phóng vệ tinh thương mại và phi thương mại trong năm 2005. 3
Câu 16: Một ca nô đi ngược dòng sông một quãng đường 6 km thì hết
giờ. Mặt khác, ca nô đó chỉ mất 2
45 phút để đi xuôi dòng sông một quãng đường tương tự. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Câu 17: Để pha chế 1000 lít cồn nồng độ 16% , người ta trộn lẫn dung dịch cồn nồng độ 10% và dung
dịch cồn nồng độ 70% . Tính số lít mỗi dung dịch cồn nồng độ 10% và nồng độ 70% cần dùng.
Câu 18: Chị Hương tập thể dục vào mỗi buổi sáng trong vòng 40 phút. Chị ấy kết hợp giữa thể dục nhịp
điệu giúp đốt cháy khoảng 11 calo mỗi phút và giãn cơ giúp đốt cháy khoảng 4 calo mỗi phút.
Mục tiêu của chị là đốt cháy 335 calo trong mỗi buổi tập sáng của mình.