Chuyên đề 4. Căn thức

CHUYÊN ĐỀ 4: CĂN THỨC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1 CĂN BẬC HAI
Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho 2 x  a . Nhận xét
- Số âm không có căn bậc hai;
- Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0;
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là a (căn bậc hai số học của a ) và  a . Tính chất: 2
a  a với mọi số thực 2. CĂN THỨC BẬC HAI Căn thức bậc hai
Tổng quát, ta có định nghĩa:
 Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng A , trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu
thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn. 
A xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là A  0. Ta nói A  0 là điều kiện xác
định (hay điều kiện có nghĩa) của A . Hằng đẳng thức 2 A |  A|
Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:
 Với A  0 ta có 2
A  0; ( A)  A;  2 A |  A|.
3. KHAI CĂN BẬC HAI VÀ PHÉP NHÂN
Với A, B là các biểu thức không âm, ta có A  B  AB .
Chú ý. Kết quả trên có thể mở rộng cho nhiểu biểu thức không âm, chẳng hạn:
A  B  C 
A B  C , ( A  0, B  0,C  0 ).
Chú ý: Nếu A  0, B  0,C  0 thì 2 2 2 A B C  ABC .
4. KHAI CĂN BẬC HAI VÀ PHÉP CHIA
Nếu A, B là các biểu thức với A  0, B  0 thì A A  . B B
5. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN
Nếu a là một số và b là một số không âm thi 2 a b |  a | b .
6. ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN
Cách đưa một thừa số vào trong đấu căn
- Nếu a và b là hai số không âm thì 2 a b  a b .
- Nếu a là số âm và b là số không âm thì 2
a b   a b .
7. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU
Tính toán với các biểu thức có chứa căn ở mẫu thường phức tạp và ta thường tìm cách trục các căn thức ở
mẫu (tức là biến đổi biểu thức thành một biểu thức mới không chứa căn ở mẫu).
Cách trục căn thức ở mẫu
 Với các biểu thức A, B và B  0 , ta có A A B  . B B    C C( A B) C C( A B)
Với các biểu thức A, B, C mà 2
A  0, A  B , ta có  ;  . 2 2 A  B A  B A  B A  B
 Với các biểu thức A, B, C mà A  0, B  0, A  B , ta có: C
C( A  B ) C
C( A  B )  ;  . A  B A  B A  B A  B 8. CĂN BẬC BA
Căn bậc ba của số thực a là số thực x thoả mãn 3 x  a .
Chú ý. Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba. Căn bậc ba của số a được kí hiệu là 3 a . Trong kí
hiệu 3 a , số 3 được gọi là chỉ số của căn. Phép tìm căn bậc ba của một số gọi là phép khai căn bậc ba.
Nhận xét. Từ định nghĩa căn bậc ba, ta có 3 3 3 3
( a )  a  a với mọi số thực a .
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Theo định luật Kepler về sự chuyển động của các hành tinh trong Hệ mặt trời xác định mối quan
hệ giữa chu kỳ quay quanh Mặt Trời của một hành tinh và khoảng cách giữa hành tinh đó với
Mặt Trời. Định luật được cho bởi công thức 3 2
s  6t . Trong đó, d là khoảng cách giữa hành
tinh quay xung quanh Mặt Trời và Mặt Trời (đơn vị: triệu dặm, 1 dặm = 1609 mét), t là thời gian
hành tinh quay quanh Mặt Trời đúng một vòng (đơn vị: ngày của Trái Đất).
a) Trái Đất quay quanh Mặt Trời trong 365 ngày. Tính khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời theo km.
b) Một năm Sao Hỏa dài bằng 687 ngày trên Trái Đất, nghĩa là Sao Hỏa quay xung quanh Mặt
Trời đúng một vòng với thời gian bằng 687 ngày Trái Đất. Hãy tính khoang cách giữa Sao Hỏa và Mặt Trời theo km.
Câu 2: Tốc độ của một chiếc canô và độ dài đường sóng nước để lại sau đuôi của nó được cho bởi công
thức v  5 l . Trong đó, l là độ dài đường nước sau đuôi canô (mét), v là vận tốc canô (m/giây).
a) Một canô đi từ Cần Giờ về Vũng Tàu để lại đường sóng nước sau đuôi dài 7  4 3 m . Hỏi vận tốc của canô?
b) Khi canô chạy với vận tốc 54 km / giờ thì đường sóng nước để lại sau đuôi chiếc canô dài bao nhiêu mét?
Câu 3: Vận tốc lăn v (tính bằng m / s ) của một vật thể nặng m (tính bằng kg ) được tác động một lực
E (gọi là năng lượng Kinetic Energy, ký hiệu E , tính bằng Joule) được cho bởi công thức: k k 2Ek v  . m
a) Hãy tính vận tốc của một quả banh bowling nặng 3 kg khi một người tác động một lực E  18 J ? k
b) Muốn lăng một quả bowling nặng 3 kg với vận tốc 6 m / s , thì cần sử dụng năng lượng Kinetic E bao nhiêu Joule? k
Câu 4: Công suất tiêu thụ PW  của đoạn mạch được tính bởi công thức 2
P  I R , trong đó R  là
điện trở của đoạn mạch, I  A là cường độ dòng điện chạy qua đoạn mạch.
a) Viết biểu thức tính I theo R và P .
b) Tính giá trị của I khi R  80 ,
 P 1200W (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của Ampe).
Câu 5: Thời g ̣ian rơi t tính theo giây của một vật được thả rơi tự do từ độ cao h(m) cho đến khi chạm
đất thoả mãn hệ thức 2 h  5t .
a) Tính thời gian rơi của vật khi h  20 m và khi h 10 m (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của giây).
b) Viết công thức biểu thị thời gian rơi t theo độ cao h(h  0) .
Câu 6: Điện áp U (tính theo volt) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức U  PR , trong
đó P là công suất (tính theo watt) và R là điện trở trong (tính theo ohm).
a) Cần bao nhiêu volt để thắp sáng một bóng đèn A có công suất 100 watt và điện trở của mỗi bóng đèn là 110 ohm?
b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 volt, điện trở trong là 88 ohm có công suất lớn hơn bóng đèn A không? Giải thích.
Câu 7: Sóng thần (tsunami) là một loạt các đợt sóng tạo nên khi một thể tích lớn của nước đại dương bị
dịch chuyển chớp nhoáng trên một quy mô lớn. Động đất cùng những dịch chuyển địa chất lớn
bên trên hoặc bên dưới mặt nước, núi lửa phun và va chạm thiên thạch đều có khả năng gây ra
sóng thần. Cơn sóng thần khởi phát từ dưới đáy biển sâu, khi còn ngoài xa khơi, sóng có biên độ
(chiều cao sóng) khá nhỏ nhưng chiều dài của cơn sóng lên đến hàng trăm km. Con sóng đi qua
đại dương với tốc độ trung bình 500 dặm một giờ. Khi tiến tới đất liền, đáy biển trở nên nông,
con sóng không còn dịch chuyển nhanh được nữa, vì thế nó bắt đầu "dựng đứng lên" có thể đạt
chiều cao một tòa nhà sáu tầng hay hơn nữa và tàn phá khủng khiếp.
Tốc độ của con sóng thần và chiều sâu của đại dương liên hệ bởi công thức s  dg . Trong đó 2
g  9,81 m / s , d deep là chiều sâu đại dương tính bằng m,s là vận tốc của sóng thần tính bằng m / s .
a) Biết độ sâu trung bình của đại dương trên trái đất là d  3790 mét, hãy tính tốc độ trung bình
của các con sóng thần xuất phát từ đáy các đại dương theo km / h .
b) Susan Kieffer, một chuyên gia về cơ học chất lỏng địa chất của Đại học Illinois tại Mỹ, đã nghiên cứu năng
lượng của trận sóng thần Tohoku 2011 tại Nhật Bản. Những tính toán của Kieffer cho thấy tốc
độ sóng thần xấp xỉ 220 m / giây. Hãy tính độ sâu của đại dương nơi xuất phát con sóng thần này.
Câu 8: Vận tốc v(m / s) của một tàu lượn di chuyển trên một cung tròn có bán kính r(m) được cho bởi
công thức: v  ar . Trong đó a là gia tốc của tàu  2
m / s  (gia tốc là đại lượng vật lý đặc trưng