Bộ 18 đề thi Giữa kì 2 Toán 8 Hà Nội có đáp án

TRƯỜNG THPT CHUYÊN AMSTERDAM HÀ NỘI
ĐÊ KIÊM TRA GIƯA KY II LƠP 8A TÔ TOAN – TIN NĂM HOC 2024 – 2025 ĐÊ CHINH THƯC MÔN: TOAN
Thơi gian lam bai: 90 phut 3 x  3 2 x 3 Bai I
(2,5 điểm) Cho biểu thức x  3 P    với x  1  ; x  3 . 2 x  2x  3 x 1 3 x
1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị biểu thức P khi x  x , biết rằng x  2 1. 0 0
3) Với số thực x thoả mãn x  1
 , x  3, chứng minh rằng P  4 . Bai II (2,0 điểm)
1) Hiện tại cô Trang Sunnie để danh được một số tiền la 900 triệu đồng. Cô Trang Sunnie đang
có ý định mua một chiếc xe ô tô giá 1,5 tỉ đồng, nên hang tháng cô Trang Sunnie đều để danh
cho mình 50 triệu đồng. Gọi y triệu đồng la số tiền cô Trang Sunnie tiết kiệm được sau x tháng.
a) Thiết lập ham số của y theo x .
b) Hỏi sau bao lâu kể từ ngay bắt đầu tiết kiệm thì cô Trang có thể mua được chiếc xe đó.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đương thẳng (d): y  m  
1 x  2 với m 1. Tìm m để
đương thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB cân.
Bai III (2,0 điểm)
1) Lớp 8A có 39 học sinh, trong đó có 30 học sinh giỏi Toán, 25 học sinh giỏi Vật Lý. Biết
rằng mỗi học sinh đều học giỏi ít nhất 1 môn Toán hoặc Vật Lý. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh.
Tính xác suất để học sinh đó chỉ giỏi đúng môn Toán.
2) Một bai thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi, nếu trả lơi đúng 1 câu thì được 5 điểm, nếu trả lơi
sai bị trừ 2 điểm, nếu bỏ qua không trả lơi thì được 0 điểm. Bạn Công trả lơi được 59 điểm.
Hỏi bạn Công trả lơi đúng bao nhiêu câu, sai bao nhiêu câu va bỏ qua bao nhiêu câu?
Bai IV. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC , các đương phân giác trong cắt nhau tại I . Gọi
E, F la chân các đương vuông góc kẻ từ I xuống AC , AB . Đương thẳng BI cắt EF tại P .
a) Chứng minh tứ giác AEIF la hình vuông va hai tam giác BFP , BIC đồng dạng.
b) Gọi M la giao điểm của BP , AC . Chứng minh PAM  CBM .
c) Kẻ PQ  AB tại Q . Đương thẳng qua B vuông góc với CQ cắt các đương thẳng CQ , PQ
tương ứng tại K, L . Chứng minh 2
LQ  LK.LB va L la trung điểm PQ. 2 2 x 1 y 1 Bai V.
(0,5 điểm) Với các số thực ,
x y khác 0 , chứng minh 2 2 x  y    2 . 2 2 y x HẾT
TRƯỜNG THPT CHUYÊN AMSTERDAM HÀ NỘI HƯƠNG DẪN GIẢI TÔ TOAN – TIN
ĐÊ KIÊM TRA GIƯA KY II LƠP 8A NĂM HOC 2024 – 2025 MÔN: TOAN 3 x  3 2 x 3 Bai I
(2,5 điểm) Cho biểu thức x  3 P    với x  1  ; x  3 . 2 x  2x  3 x 1 3 x
1) Rút gọn biểu thức P .
2) Tính giá trị biểu thức P khi x  x , biết rằng x  2 1. 0 0
3) Với số thực x thoả mãn x  1
 ; x  3, chứng minh rằng P  4 . Lời giải 1) Với x  1  ; x  3 , ta có 3 x  3
2 x 3x 3 x  3x 1 P    
x  3x 1
x 1x 3 x 3x 1 3 x    2
x  x    2 3 2 6 9
x  3x  x  3  
x 3x 1 3 2
x  3x  8x  24 x   2 3 x  8 2   x 8    .
x  3x   1
x 3x   1 x 1
2) Biết rằng x  2 1 suy ra x  3 (không thoả mãn điều kiện xác định) hoặc x  1 (thoả 0 0 0
mãn điều kiện xác định) 2 Thay x 1 vao 1 8 9 P   . 11 2 x  8 x  2 2 2 3) Ta có P  4   4  x 1 x 1
Với số thực x thoả mãn x  1
 ; x  3, suy ra x 1 0, ma x  2 2  0
Do đó P  4  0 hay P  4 . Bai II (2,0 điểm)
1) Hiện tại cô Trang Sunnie để danh được một số tiền la 900 triệu đồng. Cô Trang Sunnie đang
có ý định mua một chiếc xe ô tô giá 1,5 tỉ đồng, nên hang tháng cô Trang Sunnie đều để danh
cho mình 50 triệu đồng. Gọi y triệu đồng la số tiền cô Trang Sunnie tiết kiệm được sau x tháng.
a) Thiết lập ham số của y theo x .
b) Hỏi sau bao lâu kể từ ngay bắt đầu tiết kiệm thì cô Trang có thể mua được chiếc xe đó.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đương thẳng (d): y  m  
1 x  2 với m 1. Tìm m để
đương thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB cân. Lời giải
a) Thiết lập ham số của y theo x la: y  50.x  900 .
b) Để cô Trang có thể mua được chiếc xe đó thì 50.x  900 1500 nên 50 x  600 hay x 12.
Vậy sau 12 tháng kể từ ngay bắt đầu tiết kiệm thì cô Trang có thể mua được chiếc xe đó.
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đương thẳng (d): y  m  
1 x  2 với m 1. Tìm m để
đương thẳng (d) cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB cân. Lời giải Đương thẳng  
(d) cắt các trục tọa độ Ox , Oy tại A , B có tọa độ lần lượt la 2 A ;0  ;  m 1    B0;2 Ta có: 2 2 OA   ; OB  2 m 1 m 1
Để tam giác OAB cân thì OA  OB hay 2  2 nên m1 1 m 1
• TH1: m 11 nên m  2 • TH2: m 1 1  nên m  0
Vậy với m2; 
0 thì tam giác OAB cân.
Bai III (2,0 điểm)
1) Lớp 8A có 39 học sinh, trong đó có 30 học sinh giỏi Toán, 25 học sinh giỏi Vật Lý. Biết
rằng mỗi học sinh đều học giỏi ít nhất 1 môn Toán hoặc Vật Lý. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh.
Tính xác suất để học sinh đó chỉ giỏi đúng môn Toán.
2) Một bai thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi, nếu trả lơi đúng 1 câu thì được 5 điểm, nếu trả lơi
sai bị trừ 2 điểm, nếu bỏ qua không trả lơi thì được 0 điểm. Bạn Công trả lơi được 59 điểm.
Hỏi bạn Công trả lơi đúng bao nhiêu câu, sai bao nhiêu câu va bỏ qua bao nhiêu câu? Lời giải
Số học sinh giỏi cả hai môn Toán va Lý la: 30  2539 16
Số học sinh chỉ giỏi môn Toán la: 30 16 14
Xác suất để học sinh đó chỉ giỏi đúng môn Toán la: 14 39
2) Một bai thi trắc nghiệm gồm 20 câu hỏi, nếu trả lơi đúng 1 câu thì được 5 điểm, nếu trả lơi
sai bị trừ 2 điểm, nếu bỏ qua không trả lơi thì được 0 điểm. Bạn Công trả lơi được 59 điểm.
Hỏi bạn Công trả lơi đúng bao nhiêu câu, sai bao nhiêu câu va bỏ qua bao nhiêu câu? Lời giải
Gọi x la số câu trả lơi đúng, y la số câu trả lơi sai, z la số câu bỏ qua của bạn Công
x, y, z  ; x, y, z  20
Khi đó x  y  z  20 nên x  y  20   1
Bạn Công đạt được 59 điểm nên ta có phương trình 5x  2y  59 2y   5x 59 hay 5x 59 y  2
Vì y  0 nên 5x 59  0 Suy ra x 11,8
Ma ta có x  y  20 Nên 5x  59 x   20 2
2x  5x 59  40 7x  99 99 x  7 Ta có 99 11,8  x  7 5x  59 y 
nên 5x 59 chia hết cho 2 , suy ra x lẻ 2 Do đó x 13 Với x 13 thì 5.1359 y   3 (thỏa mãn) 2
Suy ra z  20 133  4 (thỏa mãn)
Vậy bạn Công trả lơi đúng 13, trả lơi sai 3 câu, bỏ qua 4 câu.
Bai IV. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC , các đương phân giác trong cắt nhau tại I . Gọi
E, F la chân các đương vuông góc kẻ từ I xuống AC , AB . Đương thẳng BI cắt EF tại P .
a) Chứng minh tứ giác AEIF la hình vuông va hai tam giác BFP , BIC đồng dạng.
b) Gọi M la giao điểm của BP , AC . Chứng minh PAM  CBM .
c) Kẻ PQ  AB tại Q . Đương thẳng qua B vuông góc với CQ cắt các đương thẳng CQ , PQ
tương ứng tại K, L . Chứng minh 2
LQ  LK.LB va L la trung điểm PQ. Lời giải