Chuyên đề bài tập bồi dưỡng HSG Toán 11 (có lời giải)

MỤC LỤC
CHỦ ĐỀ ❶. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC VÀO THỰC TIỂN ........ 2
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN .................................................................................................................................................. 2
⬩PHẦN ❷. TRẮC NGHIỆM..................................................................................................................................... 29
⬩PHẦN ❸. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ĐÚNG; SAI ...................................................................................... 55
⬩PHẦN ❹. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN ............................................................................................................... 90 1
CHỦ ĐỀ ❶. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ ỨNG DỤNG LƯỢNG GIÁC VÀO THỰC TIỂN
⬩PHẦN ❶. TỰ LUẬN
Câu 1: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng
và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA . Hỏi độ dài
bóng O ' M ' của OM khi thanh quay được 1 3
vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 10
15 cm ? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. Lời giải  Ta có: 1 3
vòng tương ứng với góc quay 1  = 3.2 + .2 = 6 + . 10 10 5     Khi đó cos = cos 6 + = cos  0.8090169944   .  5  5
Vậy độ dài bóng O ' M ' của OM khi thanh quay được 1 3
vòng là 15.cos  12.13525492 . 10
Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là 12.1 cm.
Câu 2: Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc dộ
góc không đổi là 11rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A . Hỏi sau một phút di chuyển,
khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58 cm? Giả sử độ dày của lốp
xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. Lời giải 2
Trong một phút van V di chuyển tạo thành một góc lượng giác  có số đo là −60.11 = −660
rad (vì chiều quay cùng chiều kim đồng hồ).
Khoảng cách từ van đến mặt đất bằng 58.(1+ sin ) = 58.(1+ sin ( 6 − 60))  42.77888427 .
Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là 42.8 cm.
Câu 3: [2] Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) 4 4 2 2
sin x + cos x = 1− 2 sin . x o c s x + b) sin x cos x 3 2
= cot x + cot x + cot x +1 3 sin x Lời giải a) Ta có VT = x + x = ( 2 2 4 4 2 x) + ( 2 sin cos sin cos x) = ( x + x)2 2 2 2 2 2 2 sin cos − 2sin .
x cos x = 1− 2sin . x cos x + b) Ta có sin x cos x 1 cos x VT = = + 3 2 3 sin x sin x sin x Mà 1 x 2 cot x +1 = và sin tan x = nên 2 sin x cos x 2 VT = x + + x ( 2 cot 1 cot cot x + ) 1 3 2
= cot x + cot x + cot x +1 = VP ĐPCM.
Câu 4: [2] Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: a) 4 2 4
sin x + 2 cos x = 1+ cos x 2 2 2 2 cot x − cot y cos x − cos y b) = 2 2 2 2 cot . x cot y cos . x cos y Lời giải
a) Đẳng thức tương đương với x = 1− 2 c x + (cos x)2 4 2 2 sin os  x = ( − x)2 4 2 sin 1 os c (*) Mà 2 2 2 2
sin x + cos x = 1  sin x = 1− cos x Do đó (*)  x = ( x)2 4 2 cos cos (đúng) ĐPCM. 2 2 cot x − cot y 1 1 b) Ta có 2 2 VT = = −
= tan y − tan x 2 2 2 2 cot . x cot y cot y cot x 2 2  1   1  1 1 cos x − cos y = −1 − −1 = − = = VP     ĐPCM. 2 2 2 2 2 2  cos y   cos x  cos y cos x cos . x cos y
Câu 5: [3] Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng thẳng đứng
và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA . Hỏi độ dài 1
bóng OM của OM khi thanh quay được 2 vòng là bao nhiêu, biết độ dài thanh OM là 20 cm 3
? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. 3 Lời giải
Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Điểm M là điểm biểu diễn góc lượng giác  .
Kẻ MH vuông góc với Ox . Ta có: 1  = 2 360 = 840 . 3
Khi đó M (20.cos 840 ;  20.sin 840)
Suy ra OH = 20.cos 840 = 10 (cm) .
Vậy độ dài bóng O M
  của OM khi thanh quay được 1 2 vòng là 10 cm . 3
Câu 6: [4] Vòng quay mặt trời trong một khu vui chơi có điểm cao nhất là 60 m, điểm thấp nhất là 6 m (so
với mặt đất). Bạn An tham gia chơi vòng quay mặt trời. Ban đầu bạn An ở vị trí A như hình vẽ.
Hỏi độ cao bạn An (so với mặt đất) sau khi vòng quay quay được 1
2 vòng. Biết rằng vòng quay 3
mặt trời quay theo chiều kim đồng hồ. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười. 4