Chuyên đề dạy thêm Toán 9 Chân trời sáng tạo Chương 9

BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác Định nghĩa:
Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.
Trong Hình 9.13, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC . Ta cunng nói tam giác ABC nội tiếp đường
tròn (O) , hay (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC .
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  2 cm, AC  4 cm . Vẽ đường tròn ( ; O R) ngoại tiếp
tam giác ABC và tính bán kính R . Lời giải
Lấy O là trung điểm của BC và vẽ đường tròn (O) đi qua A .
Khi đó, (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Theo định lí Pythagore, ta có: 2 2 2
BC  AB  AC  4 16  20 nên BC  2 5( cm).
Vậy đường tròn (O) có bán kính BC R   5 cm . 2
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 3 a . 3
Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 3 cm . Vẽ đường tròn ( ;
O R) ngoại tiếp tam giác
ABC . Tính bán kính R . Lời giải
Lấy O là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC và vẽ đường tròn (O) đi qua A . Đường
tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính 3 R  BC  3 cm . 3
2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC
Đường tròn nội tiếp tam giác
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được
gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác. Chú ý:
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp
điểm nằm trên cạnh đó.
Đường tròn nội tiếp tam giác đều
Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng 3 a . 6
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) . Biết rằng A  40 , B  60 . Tính số đo của các
góc BIC,CIA và AIB . Lời giải
Vì tổng ba góc của tam giác ABC bằng 180 nên ACB 180  BAC  ABC  80.
Vì tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC . Do đó, ta có: BAC CAI  BAI   20 ; ABC    30 ; ACB CBI ABI
 ACI  BCI   40 . 2 2 2
Vì tổng các góc trong tam giác BIC bằng 180 nên BIC 180 CBI  BCI 180 30  40 110 .
Tương tự, CIA 180  ACI CAI 120 và AIB 180  ABI  BAI 130 . B. CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC 1. Phương pháp
 Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh
huyền của tam giác vuông đó.
 Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó.
 Tam giác đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp là a 3 R 
và bán kính đường tròn nội tiếp 3 là a 3 r  . 6 2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau :
a) Hình nào có đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC ? Giải thích ?
b) Hình nào có đường tròn O nội tiếp tam giác ABC ? Giải thích ? Ví dụ 2.
Cho tam giác ABC vuông tại A , có AB 10cm và AC  21cm . Tính bán kính đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Ví dụ 3. Cho A
 BC vuông tại A , có AB  6cm và AC  8cm ngoại tiếp đường tròn I;r . Tính r
Ví dụ 4. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a .
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC vuông tại B có C 60 
, BC  3 cm và O là trung điểm AC . Xác định tâm,
bán kính và vẽ đường tròn ngoại tiếp của: a) ABC; b) BCO .
Ví dụ 6. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC . Tính bán kính của (O) , biết rằng ABC vuông
cân tại A và có cạnh bằng 2 2 cm .
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Biết rằng BOC 120  và OCA 20  . Tính số đo
các góc của tam giác ABC .
DẠNG 2. BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC
Ví dụ 1. Cho A
 BC cân tại A nội tiếp đường tròn O . Gọi ,
E F theo thứ tự là hình chiếu của O lên
AB và AC . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của BAC
Ví dụ 2. Cho A
 BC vuông tại A 0
BAC  90 AB  AC . Đường tròn I  nội tiếp tam giác ABC tiếp
xúc với BC tại D . Chứng minh rằng: a) BC AB AC BD    2 b) S  BD DC ABC .
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD có các tam giác ABC và ADC lần lượt ngoại tiếp các đường tròn (I) và (K)
sao cho hai đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng AC tại điểm H thuộc đoạn thẳng AC . Giả sử đường
tròn (I) tiếp xúc với cạnh AB tại M , đường tròn (K) tiếp xúc với cạnh AD tại N (Hình vẽ). Chứng minh:
a) Ba điểm I,H,K thẳng hàng; b) AM  AN ; c) 1 IAK  BAD . 2
Ví dụ 4. Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm trên các cạnh AB,AC lần lượt là
E,F. Chứng minh rằng EIF BAC 180   .
Ví dụ 5. Cho tam giác nhọn ABC(AB  AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD  2R . Gọi M là
trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh: a) DB  AB và CD  AC ;
b) Tứ giác BHCD là hình bình hành; c) 2 2 2 AC  BH  4R ;
d) Ba điểm H,M,D thẳng hàng và AH  2OM .
DẠNG 3. TOÁN THỰC TẾ
Ví dụ 1. Một mảnh vườn có dạng tam giác đều ABC cạnh 12 cm . Người ta muốn trồng hoa ở phần đất
bên trong đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Tính diện tích phần đất trồng hoa đó.
Ví dụ 2. Ba vị trí A,B,C ở một công viên là ba đỉnh của một tam giác đều cạnh 15 m . Người ta cần
chọn vị trí O cách đều ba vị trí A,B,C để làm một cột đền. Tính khoảng cách từ vị trí O đến mỗi vị trí A,B,C.
Ví dụ 3. Người ta vẽ bảng quy hoạch của một khu định cư được bao xung quanh bởi ba con đường thẳng
lập thành một tam giác với độ dài các cạnh là 900 m,1200 m và 1500 m (Hình vẽ).