Chuyên đề Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu Hình học 12 năm 2023

CHUYÊN ĐỀ 6: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN Mục tiêu  Kiến thức
+ Nắm được định nghĩa mặt nón tròn xoay, hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.
+ Nắm được các công thức tính diện tích xung quanh của hình nón, diện tích đáy của hình nón,
diện tích toàn phần của hình nón, thể tích của khối nón.  Kĩ năng
+ Nhận biết được một khối tròn xoay là khối nón.
+ Tính được các yếu tố liên quan đến khối nón như độ dài đường sinh, chiều cao, góc ở đỉnh,
diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thiết diện, thể tích của khối nón…
+ Giải được các bài toán nâng cao liên quan đến khối nón như bài toán cực trị, bài toán thực tế… I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng
. Cho hai đường thẳng Δ là cắt
nhau tại O và tạo thành góc với . Khi quay mặt phẳng
xung quanh Δ thì đường thẳng sinh ra
một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay
đơn giản là mặt nón). Khi đó:
 Đường thẳng Δ gọi là trục của mặt nón.
 Đường thẳng được gọi là đường sinh của mặt nón.  Góc
gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.
Nhận xét: Nếu M là một điểm tùy ý của mặt nón
khác với điểm O thì đường thẳng OM là đường sinh của mặt nón đó. HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho
vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI
thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình
nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón). Khi đó:
 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường
cao và OM gọi là đường sinh của hình nón. Trang 1


 Hình tròn tâm I, bán kính là đáy của hình nón.
Chú ý: Nếu cắt mặt nón bởi hai mặt phẳng song song và với qua
O và vuông góc với thì phần mặt nón
giới hạn bởi hai mặt phẳng và
và hình tròn giao tuyến của và mặt nón là hình nón. KHỐI NÓN TRÒN XOAY
Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn
xoay kể cả hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón.
Các khái niệm tương tự như hình nón.
Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có nhận xét: - Nếu mp
chứa OI thì thiết diện của mp và khối
Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối
nón là một hình tam giác cân tại O.
nón ta thường vẽ như hình bên. - Nếu mp
vuông góc với OI (không chứa O) thì thiết diện của mp
và khối nón (nếu có) là một hình tròn.
Hình tròn thiết diện này có diện tích lớn nhất khi mp đi qua I.
CÔNG THỨC CẦN NHỚ
Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là thì có: - Diện tích xung quanh: .
- Diện tích đáy (hình tròn): . - Diện tích toàn phần: . - Thể tích khối nón: . Trang 2


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng
. Cho hai đường thẳng Δ và
cắt nhau tại O và tạo thành góc . Khi quay mặt phẳng
xung quanh Δ thì đường thẳng
sinh ra một mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay. HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho
vuông tại I quay quanh cạnh góc
vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành
một hình, gọi là hình nón tròn xoay. KHỐI NÓN TRÒN XOAY
Phần không gian được giới hạn bởi một hình
nón tròn xoay kể cả hình đó ta gọi là khối
nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón. CÁC CÔNG THỨC Diện tích xung quanh Diện tích đáy Diện tích toàn phần Thể tích Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết về mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải
Cần nắm vững lí thuyết trọng tâm về mặt nón, hình Ví dụ: Thể tích của khối nón có chiều cao h và bán nón, khối nón ở trên. kính r là A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải Vì thể tích khối nón (
: diện tích hình tròn đáy). Chọn A. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta được
A. khối nón tròn xoay.
B. mặt trụ tròn xoay.
C. mặt nón tròn xoay.
D. hình nón tròn xoay.
Hướng dẫn giải
Cho đường thẳng l cắt và không vuông góc với Δ quay quanh Δ thì ta Nếu không nắm kĩ lí thuyết thì
được mặt nón tròn xoay.
dễ nhầm với đáp án A hoặc Chọn C. đáp án D.
Ví dụ 2: Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính
đáy của một hình nón. Đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn giải
Lưu ý: Tam giác OIM vuông
tại I nên ta sử dụng định lý
Pitago suy ra đáp án.
Theo định nghĩa hình nón, ta có tam giác OIM vuông tại I. Do đó , suy ra . Chọn C.
Bài tập tự luyện dạng 1 Trang 4