Chuyên đề ôn thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội HSA phần Toán học và xử lý số liệu

CHUYÊN ĐỀ 1. TẬP HỢP
I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Tập hợp
Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:
Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp;
Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.
a  S : phần tử a thuộc tập hợp S .
a  S : phần tử a không thuộc tập hợp S .
Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là nS  .
Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là  .
2. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau 2.1. Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con (tập con)
của B và viết A  B (đọc là A chứa trong B hoặc A là tập con của B). Minh họa A là một tập con của
B như hình vẽ dưới đây.
Thay cho A  B ta cũng viết B  A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A).
Như vậy, nếu A  B thì ta có x
 : x A xB .
Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A  . B Ta có các tính chất sau:
 A  A với mọi tập hợp A.
 Nếu A  B và B  C thì A  C .
   A với mọi tập hợp A.
2.2. Tập hợp bằng nhau
Khi A  B và B  A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A  . B
Như vậy, nếu A  B thì ta có x
 : x A  xB .
3. Các phép toán trên tập hợp
3.1. Giao của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của hai tập hợp A và B.
Kí hiệu C  AB (phần màu xám trong hình).
Vậy A B  x | x A và x   B . x  A
Ta có x  A  B   . x  B
3.2. Hợp của hai tập hợp
Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B.
Kí hiệu C  AB (phần màu xám trong hình).
Vậy A B  x | x A hoặc x  B . x  A
Ta có x  A  B   . x  B
3.3. Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S mà không thuộc tập hợp
T , kí hiệu S \ T .
S \ T  x | x S à v x T .
Nếu T là tập con của tập hợp S , thì S \ T còn được gọi là phần bù của T trong S , kí hiệu là C T . S
Chú ý: C S   . s
II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Dạng toán: Tập hợp và các phần tử của tập hợp
1.1. Phương pháp giải
Để xác định một tập hợp, ta có 2 cách sau:
 Liệt kê các phần tử của tập hợp.
 Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp. 1.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?
A. x  | x   1 . B.  2 x 
| 6x  7x 1   0 . C.  2 x 
| x  4x  2   0 . D.  2 x 
| x  4x  3   0 . Hướng dẫn giải Xét các đáp án:
- Đáp án A: x  , x 1  1
  x 1 x  0 . x  1 
- Đáp án B: Giải phương trình: 2
6x  7x 1  0  1 .  x   6 Vì x   x 1. - Đáp án C: 2
x  4x  2  0  x  2  2. Vì x 
 Đây là tập rỗng. Chọn C.
Ví dụ 2. Cho tập hợp M  
 x; y| ,x y ;x y  1. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải Vì x, y 
nên x, y thuộc vào tập 0;1;2;..  . .
Khi đó, cặp  x; y là 1;0,0; 
1 thỏa mãn x  y  1.
Vậy có 2 cặp hay M có 2 phần tử. Chọn C.
Ví dụ 3. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X   4 2 x 
\ x  6x  8   0 .
A. X  2;  4 .
B. X   2; 2.
C. X   2;  2 .
D. X   2; 2; 2  ;  2 . Hướng dẫn giải 2 x  2    Giải phương trình x 2 4 2
x  6x  8  0     . 2 x  4 x  2 
Vậy X   2; 2; 2  ;  2 . Chọn D.
2. Dạng toán: Tập hợp con, tập hợp bằng nhau
2.1. Phương pháp giải
Nắm rõ định nghĩa và các tính chất:
 Nếu A  B thì x
 : x A xB .
 A  A với mọi tập hợp A.
 Nếu A  B và B  C thì A  C .
   A với mọi tập hợp A.
 Nếu A  B thì x
 : x A  xB .
 Có tập hợp A gồm có n phần tử n  . Khi đó tập A có 2n tập con. 2.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn: E  F, F  G và G  K. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. G  F. B. K  . G
C. E  F  . G
D. E  K. Hướng dẫn giải
Dùng biểu đồ minh họa ta thấy E  K. Chọn D.
Ví dụ 2. Cho tập hợp A  1; 
2 và B  1;2;3;4;  5 .
Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: A  X  B ? A. 5. B. 6. C. 7. D. 8. Hướng dẫn giải
X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.
Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập 3;4; 
5 , sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta
được tập X.
Vì số tập con của tập 3;4;  5 là 3
2  8 nên có 8 tập X. Chọn D. Ví dụ 3 2
. Số tập con của tập hợp A  x ∣  2 x  x 2 3
 2x  2x   0 là A. 16. B. 8. C. 12. D. 10. Hướng dẫn giải
Giải phương trình: x  x2 2 2 3
 2x  2x  0 .