Đề HSG Toán 9 cấp huyện Tiên Du - Bắc Ninh năm 2022-2023 có đáp án

UBND HUYỆN TIÊN DU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn thi: TOÁN 9 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/2/2023 I. PHẦN CHUNG     Câu 1 x 1 2 x
(3,0 điểm) Cho biểu thức A  1  :       x 1 x 1
x x  x  x 1    
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A tại x  4  2 3.
Câu 2(3,0 điểm)
Cho hai đường thẳng d : mx  y 1; d : x  4 m 1 y  ;
m với m  1.  1   2  
1) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm A cố định, đường thẳng d đi qua điểm B cố 2  1 
định với mọi m  1. 
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Câu 3(3,5 điểm) 2 x  5  2 x  3 1) Giải phương trình  . x  3 4
 x  4  y 5  9
2) Gọi x, y là các số thực thỏa mãn 
 x  5  y  4  9 
Tính M  2x  3 . y
Câu 4(6,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm M thay đổi trên Ax, không
trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
a) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
b) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME.
c) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên tia Ax để diện
tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
d) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và song song với
Ax, cắt OM tại D. Chứng minh A, D, P thẳng hàng. II. PHẦN RIÊNG
Thí sinh lựa chọn làm một (chỉ một) câu trong hai câu sau:
Câu 5a (4,0 điểm)
1) Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x  2 x  x   3 6 12  y  27.
2) Với các số dương x, y, z, t thỏa mãn x + y + z + t = 4. 1 1 1 1 Chứng minh rằng     2. 2 2 2 2 x 1 y 1 z 1 t 1
Câu 5b (4,0 điểm)
1) Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn ab  bc  ca chia hết cho 3. Chứng minh rằng nếu 3 3 3
a  b  c chia hết cho 3 thì 3 3 3
a  b  c chia hết cho 27.
2) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 1 1 1
x  y  z    . x y z 3 3 3 x  x y  y z  z Chứng minh rằng    0. 3 3 3
x  y  z
y  z  x
z  x  y
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh ............................. UBND HUYỆN TIÊN DU HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GD & ĐT
ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)  x   1 2 x 
Cho biểu thức A  1  :       x 1 x 1
x x  x  x 1    
3) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A.
4) Tính giá trị của A tại x  4  2 3.
ĐKXĐ: x  0; x  1. 0,25  x   1 2 x  A  1  :        x 1 x 1 x x  x  x 1       x 1 x 1 2 x :     x 1  0,5 x 1
x  1 x   1 x  x 1 x   1  2 x  : 0,25 x 1
x  1 x  1    x  x x 2 1 1  : x 1  0,25 x   1  x   1 x  x 1 x 1  . 0,25 x 1 x 1 x  x 1  . x 1 0,25 x  x 1 Vậy A  0,25 x 1 1.2. (1,0 điểm)   Theo câu 1 có x x 1 A 
với x  0; x  1. x 1 Theo bài ra x    x    2 4 2 3 3 1 (tmđk) Thay vào A ta đượ 0,25 c: 42 3  3 2 1 1 A   3 2 1 1 0,25     4 2 3 3 1 1  3 11 6  3 3  3  0,25 3  2 3
Vậy A = 3  2 3 tại x  4  2 3. 0,25 2.1 (2,0 điểm)
Cho hai đường thẳng d : mx  y 1; d : x  4 m 1 y  ;
m với m  1.  1   2  
3) Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua điểm A cố định, đường thẳng d đi 2  1 
qua điểm B cố định với mọi m  1. 
4) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
+)Vì d : mx  y 1  y  mx 1 có hệ số b = -1, nên d luôn đi qua điểm cố 1  1  định là A(0; -1). 0,5
+)Xét d : x  4 m1 y  m với m  1.  2   
Gọi B  x ; y là điểm cố định mà d đi qua với mọi m  1.  2  0 0  Ta có: 0,25
x  4 m 1 y  m với mọi m  1  0   0 0,25
 4y 1 m  x  4y  0 với mọi m  1  0  0 0  0,25 4 y 1  0 0   x  4 y  0  0,25 0 0  1 y  0   4  0,25 x  1   0  1 
Vậy d luôn đi qua điểm cố định B 1  ; với mọi m  1  . 2     4  0,25 2.2 (1,0 điểm)
Gọi phương trình đường thẳng AB là y  ax  b . 0,25   Theo câu 1: A(0;-1) và 1 B 1  ;   nên ta có  4   .0 a  b  1  b   1       0,5 a   1 5 . 1  b  a      4  4 0,25
Vậy PT đường thẳng AB là 5 y   x 1. 4 3.1 (2,0 điểm)
ĐKXĐ: x  5 hoặc x   5; x  3  . 0,25 2 x  5  2 x  3  x  3 4  4  2 x  5  2 2  x  9 2 2 
4 x  5  8  x  9 2 2
 4 x  5  x 1 0,5 Đặ t 2 x 
 y  y   2 2 5
0  x  y  5 , PT trở thành: 2
4 y  y  5 1 2
 y  4y  4  0   y  2 2  0  y  2  0  y  2 0,5 Khi đó:
x  3tm 0,5 2 2
x  5  2  x  9   x  3   l 0,25
Vậy PT có tập nghiệm x = 3. 3.2 (1,5 điểm)
 x  4  y 5  9
Gọi x, y là các số thực thỏa mãn 
 x  5  y  4  9 
Tính M  2x  3 . y
Theo bài ra x, y là các số thực thỏa mãn
 x  4  y 5  9 
DK : x  5; y  5
 x  5  y  4  9   x  4  y  5  x  5  y  4 *
 x  4  x  5  y  4  y  5 
x  4  x  5  x  4  x  5  y  4  y  5 y  4  y  5    x  4  x  5 
 y4  y5 9 9   x  4  x  5 y  4  y  5 0,5
 x  4  x  5  y  4  y  5 ** Từ (*) và (**) ta có:
 x4  y5 x4  x5 x5 y4 y4  y5
 2 x  4  2 y  4  0,5 x  y
Thay x = y vào x  4 
y  5  9 ta được: x  4  x  5  9
 x  4  9  x  5
 x  4  81 2 x  5  x  5  x  5  4 0,5
 x  21tm
 y  21tm
Vậy M  2.21 3.21 105. 4.a (2,0 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O với bán kính R, đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax tại A của nửa đường tròn. Xét điểm
M thay đổi trên Ax, không trùng với A. Gọi E là điểm đối xứng với A qua OM.
e) Chứng minh rằng ME là một tiếp tuyến của nửa đường tròn (O).
f) Đoạn OM cắt nửa đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AME.
g) Gọi N là trung điểm EB. Tia ME cắt ON tại P. Hãy xác định vị trí của điểm M trên
tia Ax để diện tích tam giác OMP đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R.
h) Gọi C là giao điểm của BE và tia Ax, OC cắt AE tại Q. Kẻ đường thẳng qua Q và
song song với Ax, cắt OM tại D. Chứng minh A, D, P thẳng hàng.