Đề HSG Toán 9 cấp tỉnh - Nam Định năm 2022-2023 có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN HUYỆN NAM TRỰC NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán 9 ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm) 3 − 5 3 + 5
1) Rút gọn biểu thức: A = + . 2 + 3 + 5 2 − 3 − 5  x + 2 x 1  x −1
2) Cho biểu thức: P =  + +  :
, với x  0; x  1. Hãy so x x −1 x + x +1 1− x 2   sánh 2 P và 2 . P Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho 1 −  ;
x y  1 và thỏa mãn: 2 2
x 1− y + y 1− x = 1. Chứng minh 2 2 x + y = 1.
2) Giải phương trình: ( x + ) x + = ( x + + − x )( 2 2 1 1 1 1 2 − 1− x ). Bài 3. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d (không đi qua tâm O ) cắt đường tròn (O) tại
hai điểm B và C. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại D của đường tròn
(O) cắt đường thẳng d tại .A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là E và cắt BC tại điểm I .
1) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) và I là trung điểm của BC. 2 1 1
2) Gọi T là giao điểm của DE và BC. Chứng minh: = + . AT AB AC
3) Chứng minh rằng: DE, OI và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) đồng quy. Bài 4. (3,0 điểm)
1) Tìm các cặp số nguyên ( ;
x y ) thỏa mãn phương trình: 2 2
2x + 4x + 3y = 19. 2) Cho ,
m n là các số tự nhiên thỏa mãn 2 2
m − 2023n + 2022 chia hết cho . mn Chứng minh rằng: ,
m n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau. Bài 5. (3,0 điểm) 3
1) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện: x  0; y  ; z  5 và 2 2 2 y z 2 x + +
 12. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = 2xy − 3x + xz + 8z + 2 z − 5. 2 9
2) Trên bảng ghi bốn số: 2, 3, 5 và 6. Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi
hai số bất kì, chẳng hạn a, b và thay thế bằng hai số 2 2
a + b + a + b và 2 2
a + b − a + b , đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có
khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?
---------Hết---------
(Học sinh được sử dụng máy tính cầm tay không có thẻ nhớ)
Họ và tên thí sinh: ..................................................... Số báo danh:……………………………………….
Giám thị 1: ................................................................. Giám thị 2:………………………………………... HƯỚNG DẪN CHẤM
I. Những điều cần lưu ý:
- Các cách giải khác đúng cho điểm tương đương.
- Điểm của từng ý không chia nhỏ hơn 0,25 điểm.
- Điểm toàn bài giữ nguyên không làm tròn. II. Nội dung Bài 1. (4,0 điểm) 3 − 5 3 + 5
1) Rút gọn biểu thức: A = + . 2 + 3 + 5 2 − 3 − 5  x + 2 x 1  x −1
2) Cho biểu thức: P =  + +  :
, với x  0; x  1. Hãy so x x −1 x + x +1 1− x 2   sánh 2 P và 2 . P Câu Nội dung Điểm 1.1 A 3 − 5 3 + 5 0,25 = + 2 2 + 6 + 2 5 2 − 6 − 2 5 3 − 5 3 + 5 0,5 = + 3 + 5 3 − 5 ( − )2 +( + )2 3 5 3 5 = 9 − 5 = 7 0,5  A = 7 2. 0,25 1.2
Với x  0; x  1, ta có:   x + 2 x 1 2 P  (  = + −  0,5 x − ) 1 ( x + x +  ) . 1 x + x +1 x −1  x −1 
x + 2 + ( x − ) 1
x − (x + x + ) 1 2 = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1
x + 2 + x − x − x − x −1 2 = ( x − ) 1 ( x + x + ) . 1 x −1 0,25 x − 2 x +1 2 0,25 = ( x − ) 1 (x + x + ) . 1 x −1 ( 0,25 x − )2 1 2 = ( x − ) 1 (x + x + ) . 1 x −1 2 0,25 = . x + x +1
Chứng minh được 0  P  2. 0,5  P(P − ) 2 2  0  P  2 . P 0,25
Dấu “=” xảy ra khi x = 0. 0,25 KL: Vậy 2 P  2 . P Bài 2. (4,0 điểm) 1) Cho 1 −  ;
x y  1 và thỏa mãn: 2 2
x 1− y + y 1− x = 1. Chứng minh 2 2 x + y = 1.
2) Giải phương trình: ( x + ) x + = ( x + + − x )( 2 2 1 1 1 1 2 − 1− x ). Câu Nội dung Điểm 2.1 Ta có: 2 2 2 2
x 1− y + y 1− x = 1  2 − 2x 1− y − 2 y 1− x = 0 0,5  ( x −
− y )2 +(y − − x )2 2 2 1 1 = 0 0,5 2 2  x 1 y 0  − − = x = 1− y     0,5 2 2
y − 1− x = 0 y = 1− x 2 2 x =1− y 2 2  
 x + y = 1 (đpcm). 0,5 2 2 y =1− x 2 2 a + b
Ghi chú: Có thể sử dụng BĐT dạng ab  để đánh giá 2 2 2 2 2 x +1 − y y +1− x 2 2
x 1− y + y 1− x  + = 1 2 2 2 x = 1− y 2 2 x =1− y
Đẳng thức xảy ra khi  2 2    x + y = 1. 2  2 2 y = 1− x y =1− x 2.2 Điều kiện: 1 −  x  1. 0,25 a = x +1 Đặt  (a,b  0) 2 2
 a + b = 2 , khi đó phương trình trở thành: 0,5 b  = 1− x 3 = ( + )( 2 2 2a a
b a + b − ab) 3 3 3
 2a = a + b 3 3  a = b  0,5 a = b
Suy ra: x +1 = 1− x  x = 0 (thỏa mãn). 0,5
KL: Phương trình có tập nghiệm là S =   0 . 0,25 Bài 3. (6,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d (không đi qua tâm O ) cắt đường tròn (O) tại
hai điểm B và C. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O) . Tiếp tuyến tại D của đường tròn
(O) cắt đường thẳng d tại .A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn (O) tại
điểm thứ hai là E và cắt BC tại điểm I .
1) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) và I là trung điểm của BC. 2 1 1
2) Gọi T là giao điểm của DE và BC. Chứng minh: = + . AT AB AC
3) Chứng minh rằng: DE, OI và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) đồng quy. Câu Nội dung Điểm D O H d A B T I C E P 3.1
AD là tiếp tuyến của (O) tại D  AD ⊥ OD  A
 DO vuông tại D  ADO 
nội tiếp trong đường tròn đường kính AO . 0,5
E  đường tròn đường kính AO  A
 EO vuông tại E  AE ⊥ OE .
Xét (O) có: AE ⊥ OE tại E và OE là bán kính của (O)  1,0
AE là tiếp tuyến của (O) tại E.
I đường tròn đường kính AO  A
 IO vuông tại I  OI ⊥ AI  OI ⊥ BC .
Xét (O) có: OI ⊥ dây BC tại I  I là trung điểm của BC. 0,5 3.2
Gọi H là giao điểm của AO và DE . 0,25
Cm được: AO ⊥ DE tại H. C/m được: 2
AD = AH .AO (1) 0,25 C/m được: 2 AD = A . B AC (2) 0,25
C/m được: AH.AO = AT.AI (3) 0,25
Từ (1), (2) và (3) suy ra: AT.AI = A . B AC 0,25 1 AI 2 2AI  =  = AT A . B AC AT A . B AC 0,25 AI + AI
AB + IB + AC − IC = = A . B AC A . B AC 0,25 AB + AC = (do IB = IC ) A . B AC 1 1 = + (đpcm) 0,25 AB AC 3.3
Gọi P là giao điểm của DE và OI. C/m được O  HP O
 IA  OH.OA = OI.OP (4) 0,5 C/m được: 2 2
OH .OA = OD = OC (5) 0,25 OI OC Từ (4) và (5) suy ra 2
OC = OI.OP  = OC OP 0,25