Đề HSG Toán 9 cấp tỉnh - Ninh Bình năm 2022-2023 có đáp án

LỜI GIẢI ĐỀ THI HSG TỈNH NINH BÌNH 2022 − 2023
Lời giải bởi: Văn Quyền, Thầy Phạm Văn Tuyên (câu pt vô tỉ) Câu 1: (5,0 điểm) ? + √? + 1 1 √?
1. Với ? ≥ 0 ?à ? ≠ 1, rút gọn biểu thức ? = ? = + + ? + √? − 2 √? − 1 ? + 2√?
2. Cho phương trình (? + 1)?3 + (3? − 1)?2 − ? − 4? + 1 = 0 (với ? là tham số). Tìm ?
để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
3. Cho đa thức ?(?) = (? − 2)2023 = ?2023?2023 + ?2022?2022 + ⋯ + ?2?2 + ?1? + ?0. Tính giá trị
của biểu thứ? ? = (?0 + ?2 + ?4 + ⋯ + ?2020 + ?2022)2 − (?1 + ?3 + ?5 + ⋯ + ?2021 + ?2023)2 ?ờ? ??ả?:
1. Vớ? ? ≥ 0 và ? ≠ 1, ta có: ? + √? + 1 1 √? ? + √? + 1 1 √? ? = + + = + + ? + √? − 2 √? − 1 ? + 2√? (√? + 2)(√? − 1) √? − 1 √?(√? + 2) ? + √? + 1 1 1
? + √? + 1 + √? + 2 + √? − 1 = + + = (√? + 2)(√? − 1) √? − 1 √? + 2 (√? + 2)(√? − 1) ? + 3√? + 2 (√? + 1)(√? + 2) √? + 1 = = = (√? + 2)(√? − 1) (√? + 2)(√? − 1) √? − 1 √? + 1 Vậy ? = √? − 1
2) (? + 1)?3 + (3? − 1)?2 − ? − 4? + 1 = 0 (1)
⟺ (? + 1)?3 − (? + 1)?2 + 4??2 − 4? − ? + 1 = 0
⟺ (? + 1)?2(? − 1) + 4?(? − 1)(? + 1) − (? − 1) = 0
⟺ (? − 1)[(? + 1)?2 + 4?? + 4? − 1] = 0  x = 1   2
(m +1)x + 4mx + 4m −1 = 0(2)
Để pt (1) có 3 nghiệm phân biệt thì pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 ? + 1 ≠ 0
Điều kiện để pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt: { ∆′> 0 ? ≠ −1 ⇔ {
4?2 − (? + 1)(4? − 1) > 0 ? ≠ −1 ⇔ { −3? + 1 > 0 ? ≠ −1 ⇔ { 1 ? < 3
Thay ? = 1 vào (2), ta có:
(? + 1). 12 + 4?. 1 + 4? − 1 = 0 ⇔ 9? = 0 ⇔ ? = 0 ? ≠ −1 ? ≠ 0
Pt (2) là pt bậc 2 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi { 1 ? < 3 1
Vậy ? ≠ 1, ? ≠ 0, ? < 3
3. ?0 + ?1 + ?2 + ⋯ + ?2023 = ?(1) = (1 − 2)2023 = −1
?0 − ?1 + ?2 + ⋯ − ?2023 = ?(−1) = (−1 − 2)2023 = (−3)2023 = −32023
Q = (?0 + ?2 + ?4 + ⋯ + ?2020 + ?2022)2 − (?1 + ?3 + ?5 + ⋯ + ?2021 + ?2023)2
= (?0 + ?2 + ?4 + ⋯ + ?2020 + ?2022 + ?1 + ?3 + ?5 + ⋯ + ?2023)(?0 + ?2 + ?4 + ⋯ + ?2020
+ ?2022 − ?1 − ?3 − ?5 − ⋯ − ?2021 − ?2023) = (−1). (−32023) = 32023 Vậy ? = 32023 Câu 2. (4 điểm)
1. Giải phương trình 2?2 + 3? − 2 = (2? − 1)√2?2 + ? − 3 2?? ?2 + ?2 + = 1
2. Giải hệ phương trình { ? + ?
2? + 3? − √? + ? = ?2 ?ờ? ??ả?:  x  1
1. ĐK: 2?2 + ? − 3 ≥ 0 ⇔ (? − 1)(2? + 3) ≥ 0  3 −  x   2
2?2 + 3? − 2 = (2? − 1)√2?2 + ? − 3
⇔ (2? − 1)(? + 2) = (2? − 1)√2?2 + ? − 3
⇔ (2? − 1) (? + 2 − √2?2 + ? − 3) = 0 1
TH1: 2? − 1 = 0 ⇔ ? = (??ạ?) 2 ? ≥ −2 ? ≥ −2
TH2: ? + 2 = √2?2 + ? − 3 ⇔ { ⇔ {
?2 + 4? + 4 = 2?2 + ? − 3 ?2 − 3? − 7 = 0  x  2 −   3 + 37 x = (tm)   2   3− 37 x = (tm)  2 3 + √37 3 − √37
Vậy phương trình có tập nghiệm ? = { ; } 2 2 2. ĐK ? + ? > 0 2?? ?2 + ?2 + = 1 (1) { ? + ?
2? + 3? − √? + ? = ?2 (2)
Đặt ? = ? + ?, ? = ?? (?2 ≥ 4?, ? > 0) 2? (1) ⇔ ?2 − 2? +
= 1 ⇔ ?3 − 2?? + 2? − ? = 0 ?
⇔ ?(? − 1)(? + 1) − 2?(? − 1) = 0
⇔ (? − 1)(?2 + ? − 2?) = 0
⇔ (? + ? − 1)(?2 + ?2 + ? + ?) = 0
Vì ?2 ≥ 0, ?2 ≥ 0, ? + ? > 0 nên ?2 + ?2 + ? + ? > 0
→ ? + ? = 1 → ? = 1 − ?, thay vào (2), ta có: x = 2
−  y = 3(tm)
2? + 3 − 3? − 1 = ?2 ⇔ ?2 + ? − 2 = 0 ⇔ (? + 2)(? − 1) = 0  
 x =1 y = 0(tm)
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm ? = {(−2; 3); (1; 0)} Câu 3. (3 điểm)
1. Tìm tất cả các số tự nhiên ?, ? thoả mãn ?2(? − 1) + ?2(? − 1) = 1
2. Cho các số thực dương ?, ?, ? thoả mãn ? + ? + ? = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ?? ?? ?? ? = √ + √ + √ ?? + 3? ?? + 3? ?? + 3? ?ờ? ??ả?:
1. Đặt ? = ? + ?, ? = ?? (? ≥ 0, ? ≥ 0, ?2 ≥ 4?), phương trình đã cho trở thành
?? − ?2 + 2? − 1 = 0 ⇔ ?2 − ?? − 2? + 1 = 0 ⇔ ?2 − 4 − ?(? + 2) = −5
⇔ (? + 2)(? − 2 − ?) = −5
→ ? + 2, ? − 2 − ? ∈ Ư(−5) = {±1; ±5} ? + 2 = 5 ? = 3 Vì ? + 2 ≥ 2 nên { ⇔ { ? − 2 − ? = −1 ? = 2 x =1, y = 2
→ ?, ? là nghiệm của pt ?2 − 3? + 2 = 0 ⇔ (? − 1)(? − 2) = 0   x = 2, y =1
Vậy (?; ?) ∈ {(1; 2); (2; 1)} ?? ?? ? ? 1 3
2. ? = ∑ √ ?? = ∑ √ =∑ √ ≤ ∑ 1 ( + ) = . 3 = ??+3? ??+(?+?+?)? (?+?)(?+?) 2 ?+? ?+? 2 2
(Dấu "=" xảy ra khi ? = ? = ? = 1) Câu 4. (6 điểm)
Cho 3 điểm phân biệt cố định ?, ?, ? cùng nằm trên đường thẳng ? (điểm ? nằm giữa ? và ?),
gọi ? là trung điểm của đoạn thẳng ??. Đường tròn tâm ? luôn đi qua hai điểm ? và ? (điểm ? không
thuộc ?). Kẻ các tiếp tuyến ??, ?? với đường tròn tâm ? (?, ? là các tiếp điểm). Đường thẳng ?? cắt
?? tại điểm ? và cắt ?? tại điểm ?