Đề HSG Toán 9 cấp tỉnh - Thái Nguyên năm 2022-2023 có đáp án

UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2022 – 2023
MÔN THI : TOÁN ĐÁP ÁN
(Thời gian 150 phút không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang) 3 3 3 3 2 7 2 10 3 4 3 2 1
Bài 1 (3 điểm). Rút gọn biểu thức A + + + − − = 5 + 2 +1 Lời giải: 3 3 3 3
2 + 7 + 2 10 + 3 4 − 3 2 −1 A = 5 + 2 +1 3 2 + ( 2 + 5)2 3 3 3 2 3 3 + 1− 3 2 + 3 2 − 2 = 5 + 2 +1 3 2 + ( 2 + 5)2 3 3 3 + (1− 2) = 5 + 2 +1 3 3 2 + 2 + 5 +1− 2 2 + 5 +1 = = = 1 5 + 2 +1 5 + 2 +1 Vậy A=1  x + 2 x 1  x −1
Bài 2 (6 điểm). Cho biểu thức B =  + +  : .
x x −1 x + x +1 1−  x 2 
a. Rút gọn biểu thức B. 2
b. Tìm giá trị của x để B = . 7
c. Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. d. So sánh 2 B và 2B . Lời giải: a.  x + 2 x 1  x −1 B =  + +  :
x x −1 x + x +1 1−  x 2   (x + 2) x( x −1) (x + x +1)  x −1 =  + −  :
( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +1) ( x −1)(x + x +  1) 2  2 x − 2 x +1 2 2( x −1) 2 = . = = 2
( x −1)(x + x +1) x −1 ( x −1) (x + x +1) x + x +1 2 Vậy B =
Với x ≥ 0; x ≠1. x + x +1 b. Ta có 2 2 2 B = ⇔
= ⇔ x + x +1= 7 7 x + x +1 7
⇔ x + x − 6 = 0 ⇔ ( x + 3)( x − 2) = 0   x + 3 = 0  x = 3( − loai) ⇔  ⇔   x − 2 = 0  x = 2 ⇔ x = 4( dkxd tm )
c. Do x ≥ 0; x ≠1 nên x + x +1≥1 x ∀ 2 2 Do đó 0 ≤
≤ = 2 mà B∈ Z ⇒ B∈{1; } 2 x + x +1 1 2 +) Nếu B =1⇔
=1⇔ x + x +1= 2 x + x +1 2  1  5
⇔ x + x −1= 0 ⇔ x + = 1  mà ( x + > 0) 2    4 2 1 5 5 −1 3 − 2 5 ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = (tm). 2 2 2 2 2 +) Nếu B = 2 ⇔
= 2 ⇔ x + x +1=1 x + x +1
⇔ x + x = 0 ⇔ x ( x + )
1 = 0 mà ( x +1> 0)
⇔ x = 0 ⇔ x = 0(tm).  3 − 2 5  Vậy để B Z x 0;  ∈ ⇔ ∈ .  2   2 2( − x + x)
d. Xét hiệu B − 2 = − 2 = < 0 x + x +1 x + x +1
Vì x ≥ 0; x ≠1⇒ x + x > 0 và x + x +1> 0 Ta có 2
B − 2B = B(B − 2) < 0 do B > 0 Vậy 2 B < 2B . Bài 3 (3 điểm).
a. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) : y = (m − 2)x + 3 (m ≠ 3). Tìm
tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt Ox tại điểm A, cắt Oy tại điểm B sao cho  = o ABO 30 . 2 2  x + 4y = 5
b. Giải hệ phương trình:  2 2
4x y + 8xy + 5x +10y =1 Lời giải:
a. Cho x = 0; y = 3 ta được B(0;3)∈Oy 3 − Cho y = 0; x = ta được m − 2 3 ( − A ;0)∈Ox m − 2 3 − Suy ra, ta có: OA = ; OB = 3 m − 2 Ta có:  OA 3 − 0 3 tanOBA = ⇒ :3 = tan30 = OB m − 2 3  m = 3 + 2 ⇒ m − 2 = 3 ⇒  m = − 3 + 2 2 2  x + 4y = 5 b.  2 2
4x y + 8xy + 5x +10y = 1 2
(x + 2y) − (4xy + 5) = 0 ⇔ 
 (x + 2y)(4xy + 5) = 1
 x + 2y = a Đặt  4xy + 5 = b 2 a − b = 0 a = 1
Ta có hệ phương trình  ⇔   ab = 1 b = 1  x + 2y = 1  x =1− 2y  x =1− 2y Ta có  ⇔  ⇔  2 4xy + 5 = 1
4y(1− 2y) + 5 = 1  8
− y + 4y + 4 = 0  x = 1; − y =1   1 − x = 2; y =  2 1 − Vậy ( ; x y)thoả mãn là ( 1 − ;1); (2; ) 2
Bài 4 (6 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB , điểm M di động trên nửa
đường tròn đó (M ≠ ,
A M ≠ B) . Gọi điểm H là hình chiếu vuông góc với điểm M trên
đường thẳng AB. Vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn đường kính BH. Đường thẳng
MA cắt đường tròn đường kính AH tại điểm E (E ≠ )
A . Đường thẳng MB cắt đường tròn
đường kính BH tại điểm F (F ≠ B) .
e. Chứng minh: ME.MA = MF.MB .