Đề HSG Toán 9 cấp tỉnh - Yên Bái năm 2022-2023 có đáp án

https://thcs.toanmath.com/de-thi-hsg-toan-9
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (4,0 điểm) 1. 2 - 3 6 - 3 3 Rút gọn biểu thức S = + . 2 2 2. Cho ( x) 3 2 P
= x + ax + bx + c với a, ,
b c là các số thực. Biết rằng P(2) = P( ) 3 = 2023.
Tính giá trị biểu thức Q = P(5) − P(0). 2 Câu 2.  1 1  9x − 25
(3,0 điểm) Giải phương trình 8 +  +1 = .  3x − 5 3x + 5  x
Câu 3. (6,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H cố định thuộc bán kính OB (
H khác O và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuông góc với đường kính AB . Một điểm C
đi động trên cung nhỏ AN ( C khác A và N ). Gọi L là giao điểm của BC và MN .
a) Chứng minh rằng ACLH là một tứ giác nội tiếp và BH.BA = B . L BC .
b) Chứng minh rằng BN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN .
c) Đường thẳng qua N và vuông góc với AC cắt MC tại D . Tìm vị trí của điểm C trên cung
nhỏ AN của đường tròn tâm O sao cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4. (4,0 điểm)
1. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố ( , p , q r ) thỏa mãn ( 2 p + )( 2 q + ) 2 1 1 = r +1.
2. Cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn mn 1
+ chia hết cho 24 . Chứng minh rằng m + n cũng chia hết cho 24 .
Câu 5. (3,0 điểm) 1. Cho ,
x y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng y + z z + x x + y + + ≥ 3 . x +1 y +1 z +1
2. Để chuẩn bị cho Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh, bạn Tùng quyết định luyện tập giải một số
bài toán trong vòng 6 tuần. Theo dự định, bạn Tùng sẽ giải ít nhất một bài toán mỗi ngày và
không quá 10 bài toán mỗi tuần. Chứng minh rằng luôn tồn tại một chuỗi ngày liên tiếp mà trong
khoảng thời gian đó tổng số bài toán Tùng giải bằng 23.
___________________ Hết ___________________ THCS.TOANMATH.com LỜI GIẢI
Câu 1. (4,0 điểm) 1. 2 - 3 6 - 3 3 Rút gọn biểu thức S = + . 2 2 2. Cho ( x) 3 2 P
= x + ax + bx + c với a, ,
b c là các số thực. Biết rằng P(2) = P( ) 3 = 2023.
Tính giá trị biểu thức Q = P(5) − P(0). Lời giải 1. Ta có: ( )2 ( )2 2 - 3 6 - 3 3 2 - 3 6 - 3 3 2 - 3 6 - 3 3 2 - 3 6 - 3 3 S = + = + = + = + 2 2 2(2 - 3) 2(6 -3 3) 3 −1 3 - 3 3 −1 3 ( 3 − ) 1 3 - 3 = = 1 3 ( 3 − ) 1 2. Ta có: P(2) = P( )
3 = 2023 ⇔ 8+ 4a + 2b + c = 27 + 9a + 3b + c = 2023  5a + b = 1 − 9 Do đó:
Q = P(5) − P(0) = (125 + 25a +5b + c) − c =125+5(5a +b) =125+ 5( 1 − 9) = 30. 2 Câu 2.  1 1  9x − 25
(3,0 điểm) Giải phương trình 8 +  +1 = .  3x − 5 3x + 5  x Lời giải  −5 < x < 0  + Điều kiện: 3   5 x >  3 2 2  1 1  9x − 25 6x 9x − 25 + Ta có: 8 +  +1 = ⇔ 8. + 1 = (*) 2  3x − 5 3x + 5  x 9x − 25 x 2 2 9x − 25 9x − 25 1 + Đặt 2 = > 0 x t ⇔ t = ⇔ = 2 2 x x t 9x − 25 + Khi đó, phương trình 6 (*) 3 2 3 2 2 ⇔ 8.
+1 = t ⇔ t − t − 48 = 0 ⇔ t − 4t + 3t − 48 = 0 ⇔ (t − 4) ( 2
t − 3t +12 = 0 ⇔ t = 4 2 ) t
 x = −1, t . 2 ( h m) + Với 2 9x − 25 2  t = 4 ⇔ 4 =
⇔ 9x −16x − 25 = 0 ⇔  25 x x = , (loai)  19
+ Vậy: Phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {− } 1 . Câu 3. (6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Một điểm H cố định thuộc bán kính OB ( H khác O
và B ). Qua điểm H kẻ dây cung MN vuông góc với đường kính AB . Một điểm C đi động trên
cung nhỏ AN ( C khác A và N ). Gọi L là giao điểm của BC và MN .
a) Chứng minh rằng ACLH là một tứ giác nội tiếp và BH.BA = B . L BC . THCS.TOANMATH.com
b) Chứng minh rằng BN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CLN .
c) Đường thẳng qua N và vuông góc với AC cắt MC tại D . Tìm vị trí của điểm C trên cung
nhỏ AN của đường tròn tâm O sao cho diện tích tam giác ADM đạt giá trị lớn nhất. Lời giải
a) Tứ giác ACLH có: AHL = 90° và ACL = ACB = 90° . Suy ra ACLH nội tiếp. BH BL Ta có: H ∆ LB C ∆ A , B ( . g g)  =  BH.BA = ∽ B . L BC BC BA b) Ta có: BNL = BNM . NCL = NCB .
Do AB ⊥ MN  B là điểm chính giữa cung MN . Do đó BNM = BCN .
Suy ra BNL = NCL . Suy ra BL là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CNL.
c) Do ND ⊥ AC và BC ⊥ AC nên ND // BC .
Gọi J là giao điểm của AC và DN .
Ta có: JCN + NCB = 90° , DCJ + JCN + NCB + BCM = 180° mà
BCM = BCN  DCJ = NCJ .
Suy ra CJ là đường trung trực của ND hay AC là trung trực của ND .
Ta có: AD = AN = AM .
Kẻ AK ⊥ DM  A ∆ KM A ∆ ∽ C , B ( . g g) 2 S  AM  A ∆ KM  = 
 = const  S = . a S , a = const A ∆ KM A ∆ CB ( ) S  AB  A ∆ CB Ta có : S lớn nhất ⇔ S lớn nhất ⇔ S lớn nhất A ∆ DM A ∆ KM A ∆ CB THCS.TOANMATH.com