Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh - Hà Nam năm học 2022 - 2023 có đáp án

ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) UBND T N Ỉ H HÀ NAM KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GIỎI L P Ớ 9 S G Ở IÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ CẤP T N Ỉ H NĂM H C Ọ 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH TH C Ứ Môn: Toán (Đ t ề hi gồm 01 trang) Th i
ờ gian làm bài: 150 phút
Câu I. (3,0 đi m ể ) 2
a 1 a a  1 a  a a  a  1 P    Cho bi u t ể h c: ứ a a  a a  a a v i ớ a  0, a 1  . a) Rút g n bi ọ u t ể h c ứ . P 8 Q  b) Tìm đi u ki ề n c ệ a ủ a đ bi ể u ể th c ứ P nh n gi ậ á tr nguyên. ị
Câu II. (4,0 đi m ể ) 2 3 2 1. Gi i ả phư ng
ơ trình: x  3 x  3x  4x  2 0  . 2 2
 x  y  4x  6 y  5 0    2 2. Gi i ả hệ phư ng t ơ
rình:  2x  3  2 y  2x  x 2  6.  1  P 2 : y  x
Câu III. (2,0 đi m
ể ) Cho parabol 2 và hai đi m
ể A  2;2 , B 4;8 n m ằ trên  P . G i ọ M là đi m
ể thay đổi trên  P và có hoành đ l
ộ à m  2  m  4 . Tìm m đ ể
tam giác ABM có diện tích l n nh ớ ất.
Câu IV. ( 2,0 đi m ể ) Tìm nghi m ệ nguyên c a ph ủ ư ng
ơ trình: x  y  x  y 3 2 2
 4 y x  x .
Câu V. (7,0 đi m ể ) 1. Cho đư ng ờ tròn  ; O R đư ng ờ kính A . B G i ọ C là đi m ể th a ỏ mãn tam giác ABC nh n. ọ Các đư ng ờ th ng ẳ C , A CB c t ắ đư ng ờ tròn  O t i ạ đi m ể thứ hai tư ng ơ ng
ứ là D, E. Trên cung AB c a
ủ  O không ch a ứ D lấy đi m
ể F (0  FA FB ). M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Đư ng ờ th ng ẳ CF c t ắ AB t i ạ M , c t ắ đư ng ờ tròn (O) t i
ạ N ( N không trùng v i ớ F) và c t ắ đư ng t ờ ròn   O ngo i ạ ti p t ế am giác CDE t i
ạ P ( P không trùng v i ớ C ). a) Giả s ử ACB 6
 0 , tính DE theo . R b) Ch ng
ứ minh CN .CF CP.CM . c) G i
ọ I, H theo thứ tự là hình chi u ế vuông góc c a
ủ F trên các đư ng ờ th ng ẳ BD, A . B Các đư ng ờ th ng
ẳ IH và CD c t ắ nhau t i
ạ K. Tìm vị trí c a ủ đi m ể F để AB BD AD   bi u t ể h c ứ FH FI FK đ t ạ giá tr nh ị nh ỏ t ấ . 2. Cho góc nh n ọ xOy cô đ nh ị và A là đi m ể c ô đ nh ị trên O . x Đư ng ờ tròn  I  thay đổi nh ng ư luôn ti p ế xúc v i
ớ Ox, Oy lân lư t ơ t i ạ E, . D G i ọ AF là ti p ế tuy n ế th hai ứ ke t ư A đ n
ế  I  ( F là ti p đi ế m ể ). Ch ng m ứ
inh DF luôn đi qua m t ộ đi m ể cô định.
Câu VI. (2,0 đi m ể ) Cho hai sô dư ng ơ a, . b Ch ng m ứ inh:
 a  b   2 1
 a  b  2 1
 b  a  2 1 3    .
 a  b 2 1  a   2 1  b  b   2 2 2 1  a 5 ----- H T Ế -----
Họ và tên thí sinh:…………………………. Sô báo danh:.............................................. Ngư i ờ coi thi s 1
ô :……………………… Ngư i ờ coi thi s 2
ô :.…………….................... M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) UBND T N Ỉ H HÀ NAM KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ L P Ớ 9 S G Ở IÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ THCS ĐỀ CHÍNH TH C Ứ NĂM H C Ọ 2022 – 2023 Môn: TOÁN
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI M Ể Câu S l ơ ư c l ợ i ờ giải Đi m ể 2
a 1 a a  1 a  a a  a  1 P    Cho bi u t ể h c ứ : a a  a a  a a v i ớ a  0, a 1  . a) Rút g n bi ọ u t ể h c ứ . P 2,0
 a 3  1 1 a   1 1  a   a a  P    0,75 a a  a  1 a 1 a
a 1 a  a 1  1 a  a    0,75 a a a a  2 a 1  0,5 a I. 8 Q  1,0 (3,0 b) Tìm đi u ki ể n c ệ a ủ a đ bi ể u t ể h c ứ P nh n ậ giá tr nguyên. ị 1 1 đi m ể P  a   2 2  a.  2 4  a a ) Có (theo BĐT Cô-si) 1 P 4   a   a 1  a (lo i ạ do a 1  ) 0,5 V y
ậ P  4 a  0, a 1  . 8  0   2  0  Q  2 P
Q  Q   P    a 2 1 8  6 a 1 0  0,25 Do đó để  a 3   2 2  a 17   12 2      a 3   2 2   a 17  12 2  (th a ỏ mãn đi u ki ề n ệ ) 0,25 V y ậ a 1  7 1
 2 2 là các giá trị cân tìm II. 2,0 1. Gi i ả phư ng t ơ 2 3 2
rình x  3 x  3x  4x  2 0  . M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) Câu S l ơ ư c l ợ i ờ giải Đi m ể (4,0 Đi u ki ề ện: 3 2
x  3x  4x  2 0  0,25 đi m ể 3 2 2
x  3x  4x  2  x  1 x  2x  2 Có     ) 0,25 Nên 3 2
x  3x  4x  2 0   x 1
 vì x  x    x   2 2 2 2 1 1  0x
    x     2
x  x     x    2 1 2 1 2 2 3
1 x  2x  2 0  0,25 x  1 x  1  2.  3. 1 0  2 2 x  2x  2 x  2x  2 x  1 t  , t 0  Đ t ặ 2 x  2x  2  t 1  0,5 2 2t 3t 1 0      1  t  Ta đư c ơ phư ng t ơ rình  2 x  1 x  1 t 1   1   1  2 2 • x  2x  2 x  2x  2 2
 x  3x  3 0  (vô 0,25 nghiệm) 1 x  1 1 x  1 1 t      2 2 • 2 x  2x  2 2 x  2x  2 4 0,5 2
 x  6x  6 0   x 3   3 (th a ỏ mãn đi u ki ề n ệ ) V y ậ pt có 2 nghi m ệ x 3   3 . 2 2
x  y  4x  6 y  5 0  (1)   2,0 2 2. Gi i ả h ph ệ ư ng t ơ
rình  2x  3  2 y  2x  x 2  6(2)   3 x   2 0,25  Đi u ki ề ện y 0  
 x  2 y  3  
1   x  2 2 
 y  3 2   0,5
x  2  y  3 
• x  2  y  3   x  5  y 0  vô nghiệm 3 0,5
 x  5  y  0 x  , y 0.  vì 2 0,5
• x  2 y  3  y x  1 thay vào  2 ta đư c ơ : M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85