Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh - Quảng Ngãi năm học 2022 - 2023 có đáp án

ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) S G Ở IÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ QUẢNG NGÃI CẤP T N Ỉ H L P Ớ 9 Năm h c: ọ 2022 – 2023 Ngày thi: 16/02/2023 Đ Ề CHÍNH TH C Ứ Môn: Toán Th i ờ gian làm bài: 150 phút
Bài 1. (4,0 đi m ể ) 1) Tìm số nguyên t
ố p sao cho p 10 và p 14 là các số nguyên tố. 2) Tìm t t ấ cả các nghi m
ệ nguyên x, y c a ủ phư ng ơ trình 2
x  xy  2x  3y  4 0  .
3) Cho ba số a, b, c  thoả mãn 2023
a  b  c 2  022 . Ch ng ứ minh 3 3 3
a  b  c chia h t ế cho 6.
Bài 2. (4,0 đi m ể )  2 x   1 2 x  1) Cho bi u t ể h c: ứ M 1  :   , v i ớ x 0  . x 1   1 x
x x  x  x 1     Rút g n ọ bi u ể th c
ứ M và tính giá tr ịc a ủ bi u ể th c ứ M khi x 2  023  2 2022 . 2) Cho ba số dư ng ơ
x, y, z th a
ỏ mãn x  y  z 1  . x y z Tìm giá tr l ị n ớ nh t ấ c a ủ bi u t ể h c: ứ P    .
x 1 y 1 z 1
Bài 3. (4,0 đi m ể ) 1) Gi i ả phư ng t ơ rình 2
x  3  2x x 1 2  x  x  4x  3.  1  1 2 x x 1     4      y y 2) Gi i ả h ph ệ ư ng t ơ rình    2 x x 1  3 x    4   2 3   y y y
Bài 4. (7,0 đi m ể ) M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) 1) M t ộ h c ọ sinh có t m
ấ bìa hình vuông ABCD c nh ạ 20 c . m Em mu n ố c t ắ tấm bìa này thành b n
ố hình tam giác vuông b ng ằ nhau và ph n ầ còn l i ạ là hình vuông MNPQ th a
ỏ mãn M , N, P,Q lần lư t ợ thu c ộ các c nh
ạ AB, BC,CD, D . A Hãy xác đ nh ị vị trí các đi m
ể M , N, P,Q để di n
ệ tích hình vuông MNPQ là nh nh ỏ ất. 2) Cho đư ng ờ tròn tâm O đư ng ờ kính AB 2  . R Đi m ể M di đ ng ộ trên đo n
ạ OA ( M khác A), vẽ đư ng
ờ tròn tâm K đư ng ờ kính M . B G i ọ I là trung đi m ể c a ủ đo n ạ M , A đư ng ờ th ng
ẳ đi qua I vuông góc v i ớ AB c t ắ đư ng ờ tròn (O) t i ạ C và . D Đư ng ờ th ng ẳ CB c t ắ đư ng t ờ ròn (K) t i ạ . P a) Ch ng m ứ inh r ng ba đi ằ m ể P,M ,D th ng ẳ hàng. b) Ch ng ứ minh r ng ằ PI là ti p t ế uy n c ế a đ ủ ư ng ờ tròn (K). c) Tìm vị trí c a ủ M trên đo n ạ OA để di n
ệ tích tam giác IPK l n ớ nh t ấ .
Bài 5. (1,0 đi m ể ) Ngư i ờ ta làm m t ộ cái h p ộ hình vuông để đ ng ự đư c ợ 5 cái bánh hình tròn có đư ng
ờ kính 6 cm, sao cho không có b t
ấ kì hai cái bánh nào đư c ợ
chồng lên nhau. Hãy tính c nh ạ nh nh ỏ t ấ c a cái ủ h p. ộ H T Ế
Ghi chú: Giám th coi ị thi không gi i ả thích gì thêm. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) HƯ N Ớ G DẪN GIẢI
Bài 1. (4,0 đi m ể ) 1) • V i ớ p 2  thì p 10 1  2 là h p s ợ ố. • V i ớ p 3  thì p 10 1  3 và p 14 1
 7 là các số nguyên tố. • V i
ớ p  3 mà p là số nguyên tố nên p có d ng: ạ p 3  k 1 ho c ặ p 3
 k  2 ( k  *) - N u ế p 3
 k 1 thì p 14 3   k  5 3 là h p s ợ ố. - N u ế p 3
 k  2 thì p 10 3   k  4 3 là h p s ợ ố. V y ậ p 3
 thì p 10 và p 14 là các số nguyên tố. 2) Ta có : 2
x  xy  2x  3y  4 0  . 2
 x  3x  xy  3y  x  3 1 
 x(x  3)  y(x  3)  x  3 1 
 (x  3)(x  y 1) 1  Ta có các trư ng h ờ p ợ sau: x  3 1  x 4  • TH1:   x y 1 1     y  4   x  3  1 x 2  • TH2:   x y 1 1     y  4   V y nghi ậ ệm nguyên c a ủ pt là ( ; x y) 
 4;  4 , 2;  4 . 3) Ta có: 3 3 3 a b c  3 a a  3 b b  3      
 c  c   a  b  c 3 a  a   a   1 a a   1 6
 (tích ba số nguyên liên ti p nên chi ế a h t ế cho 6). Tư ng ơ t ự  3
b  b   3 6, c  c 6  và có 2022  6 2023
 a  b  c 2  022 6  V y ậ  3 3 3
a  b  c  6  .
Bài 2. (4,0 đi m ể ) 1) V i ớ đi u ề ki n ệ x 0  . M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả )  2 x   1 2 x  Ta có: M 1  :   x 1   1 x
x x  x  x 1     x 2 x 1  1 2    x :     x 1  1  x
(x 1)1 x      x  2 1 x 1 2 x  : x 1 (x 1)(1 x)  x  2 1 (x1)1 x   1   x. (x1) x  2 1 Khi x       2 2023 2 2022 2022 1 Thì M      2 1 2022 1  2022 x 1 y 1 z 1 2) Ta có: 1   ; 1   ; 1   x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x y z  1 1 1 P 3         (*)
x 1 y 1 z 1
 x 1 y 1 z 1         1 1 1 Áp d ng b ụ ất đ ng t ẳ h c ứ AM-GM v i ớ ba s d ố ư ng ơ
a, b, c (hay , , cũng là a b c số dư ng) ơ , ta có: 3
a  b  c 3  abc; 1 1 1 1 3   3  . a b c abc Nhân t ng v ừ hai ế b t ấ đ ng ẳ th c, ứ ta đư c: ợ  1 1 1  1 1 1 9
 a  b  c   9        .  a b c  a b c
a  b  c Dấu “=” x y r
ả a khi a b c . Áp d ng b ụ ất đ ng t ẳ h c t ứ rên vào (*), ta đư c: ợ M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85