Đề thi HSG Toán 9 Cấp TP - Sở GD&ĐT Hà Nội năm học 2022 - 2023 có đáp án

ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) S G Ở IÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GIỎI L P Ớ 9 C P Ấ THÀNH PHỐ HÀ N I Ộ NĂM H C Ọ 2022 – 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH TH C Ứ
Ngày thi: 08 tháng 01 năm 2023 Th i
ờ gian làm bài: 150 phút
Bài I (5,0 đi m ể ) 1) Gi i ả phư ng t ơ 2 2
rình x  2x  6  x  2x  2  x  3 .
2) Cho a,b,c là các số th c ự th a ỏ mãn đ ng ồ th i ờ các đi u ề ki n ệ 2 2 a 8b 2 2c  , b c  a  2 2 a 1 4b 1 và 2 c 1 . Tính giá tr c ị a ủ bi u ể th c ứ P a
  b  c .
Bài II (5,0 đi m ể ) 1) Tìm t t ấ c s ả ố nguyên dư ng ơ n đ
ể 3n 1 và 12n  11 là các số chính phư ng. ơ 2) Cho P x 2022 2021 2020 a  x  a x  a x   a 0 1 2 2022 là đa th c ứ v i ớ hệ số th c ự th a ỏ 1 P k   mãn đ ng ồ th i ờ các đi u ề ki n ệ k 1 , v i ớ k 0  ,1, 2, ,  2022 . Tính giá trị P 2023 .
Bài III (2,0 đi m ể ) V i
ớ a,b,c là các số nguyên dư ng ơ th a ỏ mãn đi u ề ki n
ệ a  b  c 16  , tìm giá trị
a  b b  c c  a P    l n nh ớ ất và giá trị nh nh ỏ ất c a bi ủ u t ể h c ứ c a b .
Bài IV (6,0 đi m
ể ) Cho tam giác ABC vuông t i
ạ A  AB  AC  n i ộ ti p ế đư ng ờ tròn  O . Các ti p ế tuy n ế t i ạ A và C c a ủ đư ng ờ tròn  O c t ắ nhau t i ạ đi m ể S . Trên tia M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) đối c a ủ tia CA lấy đi m
ể M ( M khác C ). Qua S kẻ đư ng ờ th ng ẳ vuông góc v i ớ OM , c t ắ đư ng t ờ ròn  O t i ạ hai đi m ể phân bi t
ệ E, F ( E n m ằ gi a ữ S và F) . a) Ch ng m ứ inh đư ng t ờ h ng ẳ ME là ti p t ế uy n c ế a đ ủ ư ng ờ tròn  O . b) G i
ọ D là chân đư ng
ờ vuông góc kẻ từ M đ n ế đư ng ờ th ng ẳ BC . Ch ng ứ
minh EC là tia phân giác c a ủ góc FED . c) G i
ọ P,Q lần lư t ợ là giao đi m ể c a ủ đư ng ờ th ng ẳ MD v i ớ hai đư ng ờ th ng ẳ BE và BF . G i ọ K là tâm đư ng ờ tròn ngo i ạ ti p
ế tam giác BPQ . Ch ng ứ minh SDK 9  0 .
Bài V (2,0 đi m ể ) 2 2 2 1) Tìm t t ấ c các ả s nguyên t ố ố , m n, p th a
ỏ mãn m  3n  5 p  8mnp 0  . 2) Cho đa giác đ u ề A A A 1 2 2023 . G i ọ S là t p ậ h p ợ g m ồ các trung đi m ể c a ủ các đ n ọ̣ th ng ẳ A A 1 i   j 2  023 i j  và M là t ng ổ độ dài c a ủ t t ấ cả các đo n ạ th ng ẳ có hai đ u ầ mút là hai đi m ể thu c ộ S . G i ọ N là t ng ổ độ dài c a ủ t t ấ cả các đo n ạ th ng ẳ A A i   j  2 i j  1 2023 . Ch ng
ứ minh M 1011 N . -----------------H t ế ----------------- Cán b coi ộ thi không gi i ả thích gì thêm. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) HƯ N Ớ G DẪN GIẢI ĐỀ THI H C Ọ SINH GI I Ỏ TOÁN 9 THÀNH PH H Ố À N I Ộ NĂM H C Ọ 2022 – 2023
Bài I (5,0 đi m ể ) 1) Đi u ki ề n:
ệ x  1. Phư ng t ơ rình đã cho tư ng đ ơ ư ng ơ v i ớ 2
x  x     2 2 6 3
x  x  2   2  2x  2 0   x   1  x  3 2 x   1   x   1  x  2  0.  Hay 2
x  2x  6  3 2x  2  2 Phư ng ơ trình trên có th đ ể ư c vi ợ t ế l i ạ thành  x  3 2   x   1  x  2  0  .  2 
x  2x  6  3 2x 2 2     x  3 2 2  0 x  2  x  2  x 1 0  Vì x  1 nên 2
x  2x  6  3 và 2x  2  2 2 . Do đó, t ph ừ ư ng
ơ trình trên, ta suy ra x 1  . Th l ử i ạ , ta th y t ấ h a m ỏ ãn. V y ậ , phư ng t ơ rình có nghi m ệ duy nh t ấ x 1  . 2) Từ giả thi t ế , dễ th y ấ a, , b c 0  . N u
ế trong a,b,c có m t ộ số b ng ằ 0 thì hi n ể nhiên các số còn l i ạ cũng b ng 0 và nh ằ v ư y ậ , trong trư ng h ờ p ợ này, ta có P 0  . Xét trư ng h ờ p
ợ a,b,c  0 . Khi đó, t gi ừ t ả hi t ế , ta có abc  2  a    2 b    2 16 1 4 1 c   1 . S d ử ng b ụ ất đ ng ẳ th c ứ AM-GM, ta có  2 a    2 b    2 1 4 1 c   1 2  . a 4 . b 2c 1  6ab . c M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) 1 a 1  ,b  Vì d u đ ấ ng ẳ th c ứ ph i ả x y ả ra nên ta ph i ả có 2 và c 1  . 1 5 P 1  1   Th l ử i ạ , ta th y t ấ h a m ỏ ãn. Và nh v ư y ậ , trong trư ng h ờ p này ợ , ta có 2 2 . 5 1 P  a 1  ,b  ,c 1  V y ậ P 0  (khi a b  c  0  ) ho c ặ 2 (khi 2 ).
Bài II (5,0 đi m ể ) 1) Đ t ặ 2 3n 1 a  và 2 12n  11 b  v i
ớ a,b nguyên dư ng. K ơ hi đó, ta có
 2a  b  2a  b 4   3n   1  12n  1  1 1  5. Đ n ế đây, b ng ằ cách xét các trư ng ờ h p ợ c ụ th ể v i
ớ chú ý 2a  b  2a  b và 2a  b  0 ,
a,b  4;7 ; 2;1 ta đư c ợ        . M t ộ cách tư ng ơ ng, t ứ a có n  1,  5 . Th l ử i ạ , ta th y t ấ h a m ỏ ãn. V y
ậ , có hai giá tr ị n th a ỏ mãn yêu c u đ ầ bài ề là n 1  và n 5  . 2) Đ t
ặ Q x   x  
1 P x  1, khi đó Q x có b c
ậ không quá 2023 và Q   1  1. Ngoài ra, theo giả thi t
ế , ta có Q 0 Q    1  Q   2022 0  . Do đó, v i ớ chú ý deg Q 2
 023 , ta có Q x M 
 x  0  x  
1  x  2022 v i ớ M là m t ộ số th c ự nào đó. Vì Q   1  1 nên  1 M 
  1 0   1 
1   1 2022  M 2  023! 1 M  Suy ra 2023!. 1 Q x  x x   1  x  2022 T đó ừ 2023! , M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85