Phát triển tư duy sáng tạo Giải Toán 8 Hình học - Chương 3: Tam giác đồng dạng

Chương III.
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Chuyên đề 13.
ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
 Tỉ số của hai đoạn thẳng. Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
 Đoạn thẳng tỉ lệ. Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B và C’D nếu có tỉ lệ thức: hay
 Định lý Ta-let trong tam giác. Nếu một đường thẳng song song
với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai
cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Trong hình bên
1. Định lý Ta-lét đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác
và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường
thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Trong hình bên
2. Hệ quả của định lý Ta-lét. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh
còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. Trong hình bên:
Chú ý. Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cạnh của tam giác và
cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Trang 1

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Từ một điểm E trên cạnh BC ta kẻ đường thẳng Ex song
song với AM và cắt tia CA, BA lần lượt tại F và G. Chứng minh: Giải * Tìm cách giải. - Để chứng minh
, suy luận thông thường là dựng đoạn thẳng trên tia EF, EG bằng
đoạn thẳng AM, rồi biến đổi cộng trừ đoạn thẳng. Chẳng hạn trong ví dụ này, qua A kẻ đường thẳng song
song với BC, cắt EF tại I. Dễ dàng nhận thấy EI = AM, do vậy chỉ cần chứng minh GI = IF là xong. Tuy
nhiên để chứng minh GI = IF bằng cách ghép vào hai tam giác bằng nhau là khó khăn, chính vì vậy chúng
ta chứng minh tỉ số bằng nhau có cùng mẫu số. Quan sát kỹ nhận thấy GI và IF có thể đặt trên mẫu số là
IE! Từ đó vận dụng định lý và hệ quả Ta-let để chứng minh là xong.
Ngoài cách trên, chúng ta có thể biến đổi kết luận thành tổng tỉ số và chứng minh là
xong. Do đó vận dụng định lý Ta-lét và biến đổi linh hoạt tỷ lệ thức là yêu cầu tất yếu trong dạng toán này.
* Trình bày lời giải
Cách 1. Giả sử E thuộc đoạn BM.
Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF tại I. Ta có AMEI là hình bình hành, suy ra EI = AM.
Áp dụng định lý Ta-lét, xét có AI // CE, Xét có AI // BE, AM // GE
Từ (1) và (2), kết hợp với BM = MC Suy ra IG = IF. Trang 2

Ta có:
Cách 2. Giả sử E thuộc đoạn BM.
Theo hệ quả định lý Ta-lét: Xét có Xét có
Cộng vế theo vế (3) và (4) ta có: hay Suy ra
Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = CD. Gọi
giao điểm của AC với DB và DE theo thứ tự là I và K. Chứng minh hệ thức Giải
* Tìm cách giải. Nhận thấy rằng: chúng ta không thể chứng minh trực tiếp do vậy nên sử
dụng tỉ số trung gian. Khai thác BE = CD và AB//CD rất tự nhiên chúng ta vận dụng hệ quả định lý Ta- lét.
* Trình bày lời giải
Đặt AB = a, BE = CD = b. Theo hệ quả định lý Ta-lét Ta có: Từ (1) và (2) suy ra:
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có
, AD là đường phân giác. Chứng minh rằng: Giải Kẻ DE // AB, ta có:
nên tam giác ADE đều. Suy ra AD = AE = DE. Trang 3


Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét: hay Mặt khác nên Suy ra
Nhận xét. Những bài toán chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi và
chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số của hai đoạn thẳng.
Ví dụ 4. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) b) Giải
* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số
chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu
tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C
vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.
* Trình bày lời giải
Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).
Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.
a) Gọi giao điểm của AG và BC là D Kẻ BI // CK // MN Xét và có nên
Áp dụng định lý Ta-lét, ta có (vì MG // BI); (vì GN // CK). Suy ra (1) (vì ). b) Xét hay suy ra Trang 4