Phát triển tư duy sáng tạo Giải Toán 8 Hình học - Chương 4: Hình Lăng Trụ Đứng - Hình Chóp Đều

Chương IV: HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHÓP ĐỀU
Chuyên đề 18. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT
A. Kiến thức cần nhớ
1. Hình hộp chữ nhật
- Hình 18.1 cho ta hình ảnh của một hình hộp chữ nhật.
- Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, 8 đỉnh và 12 cạnh.
- Hình lập phương có 6 mặt là những hình vuông.
2. Diện tích xung quanh và thể tích của hình hộp chữ nhật
 Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
 Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy.
 Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước.
 Đặc biệt, đối với hình lập phương thì:
3. Tính chất đường chéo của hình hộp chữ nhật
 Bốn đường chéo của hình hộp chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
 Bình phương của mỗi đường chéo bằng tổng các bình phương của ba kích thước.
4. Quan hệ vị trí của hai đường thẳng phân biệt trong không gian (h.18.2)
 Cắt nhau: Nếu hai đường thẳng có một điểm chung. Ví dụ: AB và BC.
 Song song: Nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Ví dụ: AB và CD. Trang 1


 Chéo nhau: Nếu hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nào. Ví dụ: AB và
Nhận xét. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song.
5. Quan hệ song song của đường thẳng và mặt phẳng (h.18.2)
 Đường thẳng song song với mặt phẳng khi chúng không có điểm chung. Ví dụ: .  Nếu và thì .
Nhận xét. Nếu
thì đường thẳng AB nằm trọn trong mp(P).
6. Quan hệ song song của hai mặt phẳng (h.18.3)
 Hai mặt phẳng song song khi chúng không có điểm chung.
 Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b; mp(Q) chứa hai đường
thẳng cắt nhau và trong đó và thì .
 Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b mà và thì .
Nhận xét. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau theo một đường thẳng đi qua điểm
chung ấy, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
7. Quan hệ vuông góc (h.18.4)
 Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt
phẳng thì ta nói đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.  Nếu đường thẳng
tại điểm O thì đường thẳng a vuông góc
với mọi đường thẳng qua O và nằm trong mp(P).  Nếu và thì . B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và . Chứng minh rằng . Giải (h.18.5)
*Tìm cách giải Muốn chứng minh
ta phải chứng minh MN song song với một đường thẳng của mặt phẳng .
*Trình bày lời giải Xét tứ giác có và . Trang 2

Vậy tứ giác là hình bình hành, suy ra .
Đường thẳng MN không nằm trong mặt phẳng còn đường thẳng nằm trong mặt phẳng mà nên .
Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật . Trên các cạnh
lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho . Chứng minh rằng . Giải (h.18.6)
*Tìm cách giải Để chứng minh
ta tìm cách chứng minh hai đường thẳng cắt nhau của
mp(ADHG) tương ứng song song với hai đường thẳng cắt nhau của .
*Trình bày lời giải Tứ giác BCHG có
nên là hình bình hành, suy ra . Mặt khác nên . Tứ giác có và
nên là hình hình hành, suy ra .
Xét mp(ADHG) có HG và DH cắt nhau tại H. Xét có và cắt nhau tại . Từ đó suy ra .
Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật .
a) Chứng minh rằng tứ giác là hình chữ nhật.
b) Tính diện tích của hình chữ nhật biết: . Giải (h.18.7) a) Tứ giác
là hình chữ nhật, suy ra và . Tứ giác
là hình chữ nhật, suy ra và . Do đó và . Vậy tứ giác là hình bình hành. Ta có: và nên . Suy ra . Do đó hình bình hành là hình chữ nhật. b) Xét vuông tại có . Xét vuông tại D có . Trang 3


Vậy diện tích hình chữ nhật là (đvdt).
Ví dụ 4. Cho hình hộp chữ nhật . a) Chứng minh rằng .
b) Trong số sáu mặt của hình hộp chữ nhật, có bao nhiêu cặp mặt phẳng vuông góc với nhau? Giải (h.18.8)
* Tìm cách giải Muốn chứng minh vuông góc với ta cần
chứng minh một đường thẳng của vuông góc với hai
đường thẳng giao nhau của .
* Trình bày lời giải a) Vì là hình chữ nhật nên . Vì là hình chữ nhật nên . Vậy
vuông góc với hai đường giao nhau của do đó . Mặt khác, nên
b) Chứng minh tương tự như câu a), ta được các cặp mặt có chung một cạnh thì vuông góc với nhau.
Hình hộp chữ nhật có 12 cạnh nên có 12 cặp mặt vuông góc với nhau.
Ví dụ 5. Cho hình hộp chữ nhật . Diện tích các mặt và lần lượt là và .
a) Tính thể tích của hình hộp.
b) Tính độ dài đường chéo của hình hộp. Giải (h.18.9)
* Tìm cách giải
Diện tích các mặt đã cho là tích của hai kích thước.
Thể tích của hình hộp là tích của ba kích thước. Vì vậy ta cần sử dụng
các tích của từng cặp hai kích thước để đưa về tích của ba kích thước.
* Trình bày lời giải
a) Gọi độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c. Ta có: (1); (2); (3) Suy ra: hay . Do đó .
Vậy thể tích của hình hộp là . (4) Trang 4