Đề thi HSG Toán 9 cấp tỉnh - Gia Lai năm học 2022 - 2023 có đáp án

ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) SỞ GIÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ L P Ớ 9 C P Ấ GIA LAI TỈNH NĂM H C Ọ 2022 - 2023 Môn: Toán Đ Ề CHÍNH TH C Ứ
Thời gian: 150 phút (không k ể th i ờ gian giao đ ) ề (Đ
ề thi có 06 câu, g m ồ 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 H
ọ và tên thí sinh:…………………………..…………………Số báo danh: ……………
Câu 1 (5,0 điểm). 1 1 1 1   1   2 2 2 a) Ch ng m ứ inh rằng: 1 k (k 1) k(k 1) (v i ớ k  0 ).
Từ đó hãy tính giá tr bi ị u t ể hức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S       ...    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 . 2
b) Tìm tất cả các cặp s ố ( ; x y) nguyên th a
ỏ mãn: x  xy  x  y  5 0  .
Câu 2 (4,0 điểm). 2 a) Cho hàm số y (
 m  m  2)x  2m  8 có đồ thị là đư ng ờ th ng
ẳ d . Tìm tất cả các giá trị của tham s ố m để đư ng
ờ thẳng d cắt tr c ụ hoành và tr c ụ tung lần lư t
ợ tại A và B sao cho di n ệ tích
tam giác OAB bằng 2 ( v i ớ O là g c ố t a ọ độ ). b) Cho hai vòi nư c ớ ch y ả vào 1 b n ồ nư c ớ . N u ế cho vòi th ứ nh t ấ ch y ả vào b n ồ r ng ỗ trong 3 giờ rồi d ng ừ l i ạ , sau đó cho vòi th ứ hai ch y ả ti p ế vào trong 8 gi ờ n a ữ thì đ y ầ b n. ồ N u ế cho vòi thứ nhất chảy vào b n ồ r ng ỗ trong 1 giờ r i ồ cho c ả 2 vòi ch y ả ti p ế trong 4 gi ờ n a ữ thì s ố nư c ớ đã ch y ả 8 vào bằng 9 b n. ồ H i ỏ n u m ế i ỗ vòi ch y ri ả êng thì trong bao lâu nư c ớ s đ ẽ y b ầ n ồ đó?
Câu 3 (2,0 điểm). 3 3 3 2 Cho x 1   3  9 . Ch ng ứ t
ỏ x  3x  6x  21 là s ố chia h t ế cho 5 .
Câu 4 (5,0 điểm). Cho đư ng ờ tròn (O) đư ng ờ kính BC 2  R và đi m ể A thay đ i
ổ trên (O) (điểm A không trùng v i
ớ B,C ). Đư ng
ờ phân giác trong góc A c a
ủ tam giác ABC cắt đư ng
ờ tròn (O) tại K . Hạ AH vuông góc v i ớ BC . M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) a) Ch ng ứ minh r ng ằ khi A thay đ i ổ , t ng ổ 2 2
AH  KH luôn không đ i ổ . Tính góc B c a ủ tam 3 AH  R giác ABC biết 2 .
b) Đặt AH x . Tìm x sao cho di n t
ệ ích tam giác OAH đạt giá trị l n nh ớ ất.
Câu 5 (2,0 điểm). Cho A
 BC vuông tại A bi t ế AB 3  , AC 4  và AH là đư ng ờ cao. G i
ọ I  AB sao cho AI 2
 BI , CI cắt AH tại E . Tính CE .
Câu 6 (2,0 điểm). Cho a, , b c là các s t ố hực dư ng. ơ Ch ng m ứ inh rằng: 2 2 2
(a  bc)(b  c)
(b  ca)(c  a)
(c  ab)(a  b)   3  2 2 2 2 2 2 2
a(b  c )
b(c  a )
c(a b ) .
--------------------------H T
Ế -------------------------- L u
ư ý: - Thí sinh không đư c ợ s d ử ng t ụ ài li u v ệ à máy tính c m ầ tay.
- Giám thị không giải thích gì thêm. M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) SỞ GIÁO D C Ụ VÀ ĐÀO T O Ạ KỲ THI CH N Ọ H C Ọ SINH GI I Ỏ L P Ớ 9 C P Ấ T N Ỉ H GIA LAI NĂM H C Ọ 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN (Hư ng ớ dẫn chấm có 05 trang) Ngày thi: 14/02/2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯ N Ớ G D N Ẫ CH M Ấ Đ C Ề HÍNH TH C Ứ MÔN: TOÁN Câu Ý Đáp án Đi m ể 1 1 1 1   1   2 2 2 Ch ng ứ minh rằng: 1 k (k 1) k(k 1) ( V i ớ k  0 ).
Từ đó hãy tính giá tr bi ị u t ể hức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S       ...    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 2 2 2 2 1 1 1
k (k 1)  (k 1)  k    0,5 2 2 2 2 2 1 k (k 1) k (k 1) 4 3 2 2 2
k  2k  k  k  2k 1 k 4 3 2 2
k  2k  2k  k  2k 1   0,5 2 2 k (k 1) 2 2 k (k 1) 2 2 (k  k 1) 2 k  k 1 a)  0,5 2 2  k (k 1) k(k 1) 3đ k(k 1) 1 1  1   k(k 0,5 1)
k(k 1) (đpcm). 1 1 1 1 1 1   1   1    2 2 2 0,25 Ta có: 1 k (k 1) k(k 1) k k 1 Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S       ...    2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 3 4 1 2022 2023 2023 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1    1   ... 1   2 3 3 4 2022 2023 2023 1 2021   2021  ,5 0,25 2 . 1 2 Tìm tất cả các cặp s ố ( ; x y) nguyên th a
ỏ mãn: x  xy  x  y  5 0  . (5,0 b) 2 2
Ta có : x  xy  x  y 5 0
  y(x  1) x  x  5 (*) 0,25 đ) 2đ V i ớ x 1
 không thỏa mãn đẳng thức (*) . 0,5 M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85
ệ đ xe ể m chi ti t ế (có l i ờ gi i ả ) 2 x  x  5 7 (*)  y 
 y x  2  Khi đó x  1 x  1
Vì x, y nguyên nên suy ra: (x  1) là ư c ớ nguyên c a ủ 7 0,25 (x  1)  1  ; 7 Suy ra:    0,25 x  1 1   x 2   y 1  1 
x  1  1 x 0   y  5  0,5 x  1 7   x 8   y 11  
x  1  7  x  6  y  5 
Vậy có 4 cặp số nguyên th a ỏ y u ề c u ầ bài toán: 0,25
(2;11), (0;  5), (8;11), ( 6;  5). 2 2 a) Cho hàm số y (
 m  m  2)x  2m  8 có đồ thị là đư ng ờ th ng ẳ d . Tìm (4,0 tất cả các giá trị c a
ủ tham số m để đư ng ờ th ng ẳ d cắt tr c ụ hoành và tr c ụ đ) tung lần lư t ợ t i
ạ A và B sao cho di n
ệ tích tam giác OAB bằng 2 (v i ớ O là g c ố t a ọ đ ). ộ 2 m  m  2 0   m       0,25 2m  8 0  m 4 Vì O, ,
A B tạo thành tam giác nên :   Đư ng t ờ hẳng d cắt tr c ụ hoành và tr c ụ tung lần lư t
ợ tại A và B nên suy ra : a)   2m  8 0,5 A ;0 2đ  2  m m 2   
 và B(0;2m  8) 1 1  2m  8 S  .O . A OB  . . 2m  8 2 O   AB 2 0,5 Ta có : 2 2 m  m  2 2 2 2 2
 (m  4)  m  m  2  m  8m 16  m  m  2 2 2
 m  8m 16 m  m  2 0,5   2 2
m  8m 16  m  m  2   m 2  (TMĐK) 0,25 b) b) Cho hai vòi nư c ớ ch y ả vào 1 b n ồ nư c ớ . N u ế cho vòi th ứ nh t ấ ch y ả vào 2đ b n ồ r ng ỗ trong 3 giờ r i ồ d ng ừ l i
ạ , sau đó cho vòi thứ hai ch y ả ti p ế vào trong 8 giờ n a ữ thì đ y ầ b n. ồ N u ế cho vòi th ứ nh t ấ ch y ả vào b n ồ r ng ỗ trong 1 giờ r i ồ cho cả 2 vòi ch y ả ti p ế trong 4 giờ n a ữ thì số nư c ớ đã ch y ả vào 8 bằng 9 b n. ồ H i ỏ n u ế m i ỗ vòi ch y
ả riêng thì trong bao lâu nư c ớ sẽ đ y ầ b n ồ đó ? G i ọ x (gi ), ờ y (gi ) l ờ ần lư t ợ là th i ờ gian đ m ể i
ỗ vòi chảy riêng đổ đầy b n ồ 0,25 M i
ọ thắc mắc vui lòng xin liên hệ hotline: 084 283 45 85