Chuyên đề dạy thêm Toán 12 (có lời giải)

CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết, hiểu công thức, quy tắc tính đạo hàm
+ Nắm vững tính đơn điệu của hàm số.
+ Thấy được mối liên hệ về sự biến thiên của hàm số thông qua đạo hàm của nó
+ Biết quy tắc xét dấu đã học ở lớp 10.
+ Nhận biết được mối liên hệ của hàm số khi biết bảng biến thiên của hàm số ,
khi biết bảng biến thiên của hàm số , đồ thị hàm số hoặc đồ thị hàm số .  Kĩ năng
+ Biết áp dụng công thức, các quy tắc tính đạo hàm vào các hàm số cơ bản
+ Nhận diện được bảng biến thiên, đồ thị của hàm số đơn điệu trên một khoảng cụ thể.
+ Vẽ được bảng biến thiên, đồ thị các hàm số cơ bản, các hàm chứa trị tuyệt đối.
+ Vận dụng được tính chất của các hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, các hàm hữu tỷ vào giải nhanh toán trắc nghiệm.
+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số , ,
khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số ( ). I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa
Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị như hình
Cho hàm số xác định trên khoảng (đoạn hoặc vẽ dưới đây. nửa khoảng) .
Hàm số gọi là đồng biến (tăng) trên nếu .
Dựa vào đồ thị ta thấy
Hàm số đồng biến trên khoảng .
Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Ví dụ 2: Cho hàm số . Ta có bảng xét
Hàm số gọi là nghịch biến (giảm) trên nếu Trang 1

dấu như sau: Ta thấy
Hàm số đồng biến trên các khoảng Định lí thuận
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
Hàm số nghịch biến trên khoảng Nếu
thì hàm số đồng biến trên khoảng .
Ví dụ 3: Cho hàm số . Nếu
thì hàm số nghịch biến trên Hàm số có khoảng . Nếu
thì hàm số không đổi trên . khoảng .
Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: Định lí đảo
và dấu “=” tại hữu hạn điểm
Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
trên thì hàm số nghịch biến trên .
Nếu hàm số đồng biến trên khoảng thì .
Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng thì . Lưu ý: - Hàm số
đồng biến trên thì đồ thị hàm số
là đường đi lên từ trái sang phải, biểu diễn trong
bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải. - Hàm số
nghịch biến trên thì đồ thị hàm
số là đường đi xuống từ trái sang phải, biểu diễn
trong bảng biến thiên là dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải.
Xét dấu tam thức bậc hai Trang 2

; ; ; .
SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Cho hàm số xác định trên khoảng (đoạn hoặc nửa khoảng) .
Hàm số nghịch biến
Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận - Nếu
thì hàm số nghịch biến - Nếu thì hàm số đồng biến trên khoảng . trên khoảng . Định lí đảo Định lí đảo
- Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng thì - Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng thì . .
Định lí thuận “mở rộng”
Định lí thuận “mở rộng”
và dấu bằng tại hữu hạn điểm
và dấu bằng tại hữu hạn điểm
trên thì hàm số đồng biến trên .
trên thì hàm số nghịch biến trên . Đồ thị Đồ thị
- Đồ thị hàm số là đường đi xuống từ trái sang phải
- Đồ thị hàm số là đường đi lên từ trái sang phải Định nghĩa Định nghĩa
Hàm số được gọi là nghịch biến trên
nếu Hàm số được gọi là đồng biến trên nếu Trang 3

. .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số không chứa tham số
Bài toán 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức Phương pháp giải
Thực hiện các bước như sau: Ví dụ: Hàm số đồng biến
Bước 1. Tìm tập xác định .
Bước 2. Tính đạo hàm .
trên khoảng nào dưới đây? A. . B. .
Bước 3. Tìm các giá trị mà hoặc C. . D. . những giá trị làm cho không xác định.
Hướng dẫn giải
Bước 4. Lập bảng biến thiên hoặc xét dấu trực tiếp đạo hàm. Tập xác định .
Bước 5. Kết luận tính đơn điệu của hàm số Ta có (chọn đáp án). Ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng . Chọn D. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cho hàm số
. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên .
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên .
Hướng dẫn giải Tập xác định Ta có Cho . Trang 4