Chuyên đề Đại số và giải tích Toán 11 năm 2023 - Chương 3: Dãy số - cấp số cộng và cấp số nhân

CHƯƠNG 3: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức
+ Biết được thứ tự các bước giải toán bằng phương pháp quy nạp.
+ Biết khái niệm dãy số, cách cho dãy số, tính chất đơn điệu và bị chặn của dãy số.
+ Nắm được phương pháp giải các dạng bài tập của dãy số như tìm số hạng tổng quát, xét tính tăng, giảm và bị chặn.  Kĩ năng
+ Chứng minh được các bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học.
+ Biết cách xác định dãy số.
+ Xét được tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số.
+ Tính được tổng của một dãy số. I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương pháp quy nạp toán học
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n)
Để chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi giá trị nguyên đúng với mọi số nguyên dương thì:
dương n, ta thực hiện như sau:
+) Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. 
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
+) Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số 
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương nguyên dương bất kì và phải chứng n = k tùy ý
, chứng minh rằng mệnh đề đúng với minh mệnh đề đúng với . Dãy số
a) Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu: Dạng khai triển:
Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n
hay số hạng tổng quát của dãy số.
b) Mỗi hàm số u xác định trên tập với
c) Các cách cho một dãy số:
Ví dụ 1: Cho dãy (u
Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. n) với
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi
Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp): Trang 1 
Cho số hạng thứ nhất u1 (hoặc một vài số hạng đầu).  Với
, cho một công thức tính uk nếu biết uk-1 (hoặc
vài số hạng đứng ngay trước nó).
Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) bán kính R. Cho
Cách 3: Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy dãy (un) với un là độ dài cung tròn có số đo là số.
của đường tròn (O).
Dãy số tăng, dãy số giảm
a) Dãy số (un) được gọi là tăng nếu với mọi hay
b) Dãy số (un) được gọi là giảm nếu với mọi hay Dãy số bị chặn
a) Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho .
b) Dãy số (un) được gọi bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
c) Dãy số (un) được gọi bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị
chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1:Quy nạp toán học Phương pháp giải
Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số , ta luôn có
tự nhiên n đúng với mọi
là só tự nhiên Hướng dẫn giải:
cho trước), ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với Với n = 2 ta có (đúng). Vậy (*) đúng với n = 2.
Bước 2: Giả sử P(n) đúng khi (xem Giả sử với
thì (*) đúng, có nghĩa ta có
đây là giả thiết để chứng minh bước 3).
Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh Trang 2
Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được
Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết Vậy (đúng).
luận rằng P(n) đúng với mọi
Do đó theo nguyên lí quy nạp (*) đúng với mọi số nguyên dương Ví dụ mẫu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1.
Giả sử (1) đúng với n = k Khi đó ta có
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay Thật vậy
(điều phải chứng minh). Vậy (1) đúng khi
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương , ta có
Hướng dẫn giải Với n = 2, ta có
Suy ra VT(1) = VP(1) với n = 2.
Vậy (1) đúng với n = 2.
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
Ta phải chứng minh (1) đúng với
. Có nghĩa ta phải chứng minh Trang 3 Thật vậy (điều phải chứng minh) Vậy (1) đúng khi .
Do đó theo nguyên lí quy nạp (1) đúng với mọi số nguyên dương
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có
Hướng dẫn giải Với n = 1, ta có
Suy ra VT(1) = VP(1) khi n = 1.
Vậy (1) đúng với n = 1
Giả sử (1) đúng với n = k. Khi đó ta có
Ta phải chứng minh (1) đúng với
. Có nghĩa ta phải chứng minh Thật vậy
(điều phải chứng minh). Vậy (1) đúng khi . Trang 4