Chuyên đề Đại số và giải tích Toán 11 năm 2023 - Chương 4: Giới hạn

CHƯƠNG 4: GIỚI HẠN
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Mục tiêu  Kiến thức
+ Hiểu được khái niệm giới hạn của dãy số.
+ Biết được một số định lí giới hạn của dãy số, cấp số nhân lùi vô hạn.  Kĩ năng
+ Áp dụng khái niệm giới hạn dãy số, định lí về giới hạn của dãy số vào giải các bài tập.
+ Biết cách tính giới hạn của dãy số.
+ Biết cách tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn. Trang 1 I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 9
1.1. Định nghĩa: Ta có nói rằng dãy số
có giới Nhận xét:
hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu với mỗi số dương a) Dãy số
có giới hạn 0 khi và chỉ khi dãy số
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ có giới hạn 0.
một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
b) Dãy số không đổi , với có giới hạn Khi đó ta viết: hoặc 0. (Kí hiệu “ ”, đọc là dãy số có giới
hạn là 0 khi n dần đến vô cực).
1.2. Một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp
Dựa vào định nghĩa, người ta chứng minh được rằng: a) b) c) d) Dãy số không đổi với có giới hạn 0. e) Nếu thì
Định lí sau đây thường được sử dụng để chứng minh
một số dãy số có giới hạn 0. Cho hai dãy số và . Nếu với mọi n và thì
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Nhận xét:
2.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn - Dãy số
có giới hạn là số thực L, khi và chỉ
Định nghĩa: Ta nói rằng dãy số
có giới hạn là khi khoảng cách từ điểm đến điểm L là số thực L nếu
gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ Khi đó ta viết hoặc
lớn. Tức là khi biểu diễn các số hạng trên trục số Tức là
ta thấy khi n tăng thì các điểm tụ tại quanh
2.2. Các định lý cơ bản về giới hạn hàm số điểm L.
Định lí 1: Giả sử Khi đó:
- Có những dãy số không có giới hạn hữu hạn. Trang 2  và .
Chẳng hạn dãy số , tức là dãy số:  Nếu thì và
Định lí 2: Giả sử
và c là một - Nếu C là hằng số thì hằng số. Khi đó      (nếu ).
Định lí 3 (Nguyên lí kẹp giữa): Cho ba dãy số
và số thực L. Nếu với mọi n và thì Định lí 4:
 Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
 Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
2.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Khái niệm: Cấp số nhân gọi là lùi vô hạn nếu có
công bội q thỏa mãn điều kiện
Tổng các số hạng:
3. Dãy số có giới hạn vô cực
Nhận xét: Nếu thì
3.1. Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực Chú ý: Định nghĩa:
 Các dãy số có giới hạn là hoặc được  Ta nói rằng dãy số có giới hạn là
nếu với gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay
mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy dần đến vô cực.
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số  Dãy số có giới hạn là số thực L được gọi là dãy dương đó.
số có giới hạn hữu hạn. Khi đó ta viết hoặc Nhận xét:
Từ định nghĩa, ta có kết quả sau:  Ta nói rằng dãy số có giới hạn là nếu với a) .
mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, Trang 3
kể từ một số hạn nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm b) đó. c) Khi đó ta viết hoặc d) e)  Định lí: Nếu thì
3.2. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực Quy tắc 1  Nếu thì .  Nếu thì  Nếu thì  Nếu thì Quy tắc 2  Nếu thì  Nếu thì Quy tắc 3 Nếu , thì  Khi  Khi
3.3. Một số kết quả Mở rộng: a) và , với Ta có và , với và k b) Cho hai dãy số và ,
là một số nguyên dương.  Nếu với mọi n và thì  Nếu và thì Trang 4