Chuyên đề Hình học Toán 11 năm 2023 - Chương 3: Vectơ trong không gian - Quan hệ vuông góc trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 3. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN – QUAN HỆ
VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN –
HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Mục tiêu  Kiến thức
+ Trình bày được các tính chất, quy tắc biểu diễn vectơ.
+ Phát biểu được tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai đường thẳng.  Kĩ năng
+ Chứng minh được các đẳng thức vectơ, biểu diễn được vectơ theo các vectơ không trùng phương với nó.
+ Nắm được phương pháp chứng minh sự cùng phương của hai vectơ, tìm được điều kiện của ba vectơ đồng phẳng.
+ Tính được góc giữa hai đường thẳng. Vận dụng được tích vô hướng của hai vectơ để giải các bài toán. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
A. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Các định nghĩa
a) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt
điểm đầu và điểm cuối). +) Ký hiệu vectơ:
(điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay
+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Sự cùng phương của hai vectơ
b) Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối  và cùng phương trùng nhau.
c) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau.  và cùng hướng
d) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.  và ngược hướng
e) Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có cùng độ dài.
f) Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng  Ba điểm A, B, C thẳng hàng nhưng có cùng độ dài.
Các quy tắc tính toán với vectơ
g) Quy tắc ba điểm (với phép cộng)
Quy tắc ba điểm (mở rộng). .
h) Quy tắc ba điểm (với phép trừ) i) Quy tắc hình bình hành
Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì .
j) Quy tắc hình hộp. Nếu là hình hộp thì
k) Phép nhân một số k với một vectơ . Ta có
là một vectơ được xác định như sau. + cùng hướng với nếu . Trang 2
+ ngược hướng với nếu . + có độ dài
Một số hệ thức vectơ hay dùng
l) Hệ thức về trung điểm của đoạn thẳng
I là trung điểm của đoạn thẳng
(với O là một điểm bất kỳ).
m) Hệ thức về trọng tâm của tam giác
G là trọng tâm của tam giác
(với O là một điểm bất kỳ)
(với M là trung điểm cạnh BC).
n) Hệ thức về trọng tâm của tứ diện
G là trọng tâm của tứ diện ABCD
(với điểm O bất kỳ) (với là trọng tâm của )
(với M, N là trung điểm một cặp cạnh đối diện).
Sự đồng phẳng của ba vectơ Hệ quả o) Định nghĩa
Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng
Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu thời song song với giá của hai vectơ kia thì
giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.
ba vectơ đó đồng phẳng.
p) Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Ứng dụng:
Trong không gian cho hai vectơ
không cùng phương Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng và vectơ . Khi đó,
và đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số đồng phẳng sao cho (cặp số nêu trên là duy nhất)
q) Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng Cho ba vectơ và không đồng phẳng.
Với mọi vectơ , ta đều tìm được duy nhất một bộ số Trang 3 sao cho
Tích vô hướng của hai vectơ Chú ý:
Bình phương vô hướng của một vectơ: a) Nếu và thì b) Nếu và thì
Một số ứng dụng của tích vô hướng a) Nếu và ta có
b) Công thức tính côsin của góc hợp bởi hai vectơ khác .
c) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng
B. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa: Trong không gian, cho và là hai vectơ Nhận xét:
khác . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao a) Nếu là vectơ chỉ phương của đường cho . Khi đó ta gọi thẳng d thì vectơ với cũng là
vectơ chỉ phương của d.
là góc giữa hai vectơ và
b) Một đường thẳng trong không gian hoàn
toàn xác định nếu biết một điểm A thuộc d
trong không gian, kí hiệu là
và một vectơ chỉ phương của nó.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi
Vectơ khác được gọi là vectơ chỉ phương của đường
và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân
thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với
biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng đường thẳng d. phương.
Chú ý. Giả sử
lần lượt là vectơ chỉ
phương của đường thẳng a và b. Đặt . Khi đó Trang 4