Chuyên đề Cấp số cộng và cấp số nhân (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHUYÊN ĐỀ 2. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Cấp số cộng 1.1. Định nghĩa
Dãy số u là cấp số cộng nếu u  u  với n  2 , d là số không đổi.  d n  n n 1
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng, ta có d  u  u với n  2 . n n 1 
Nếu d  0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.
1.2. Số hạng tổng quát
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d , ta có: u  u  n  d , với n  2 . n 1 1   n  1 1.3. Tính chất a, ,
b c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì a  c  2b .
1.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng
Cho cấp số cộng u có số hạng đầu u và công sai d . Đặt S  u  u   u , ta có: n . . n  1 1 2 n
u u n 2u  n 1 d n 1 n   1   S    . n 2 2 2. Cấp số nhân 2.1. Định nghĩa
Dãy số u là cấp số nhân nếu u  u  với n  2 , q là số không đổi.  q n  n n 1 Số u
q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu u  với mọi * n  thì n q  với n  2 . n 0 un 1
Nếu q 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.
2.2. Số hạng tổng quát
Cho cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q , ta có: n 1 u u q    , với n  2 . n  1 n 1 2.3. Tính chất
a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì 2 ac  b .
2.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân
Cho cấp số nhân u có số hạng đầu u và công bội q q  
1 . Đặt S  u  u   u , ta có: n . . n  1 1 2 n u 1 n  q 1   S  . n 1 q II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng u có số hạng tổng quát là u  n  . Tìm công sai d của cấp số cộng. n 3 2 n  A. d  3. B. d  2 . C. d  2 . D. d  3. Lời giải
Ta có u u  n    n   . Chọn A. n n 3 1 2 3 2 3 1  
Ví dụ 2. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? A. 2 u  3n  .
B. u  3n  . C. u  . D. u . n   1 3    n n 3n n 2018 n 2017 Lời giải
Xét dãy số u  3n 
, ta có u           .  u n n u  u n n 3 1 2018 3 2018 3 n n 3 1     n 2018 1
Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d  3. Chọn B.
Ví dụ 3. Tổng 7 số hạng đầu của cấp số nhân u với u  3 và công bội 1 q  bằng n  1 2 A. 381. B. 189 . C. 63 . D. 889 . 64 32 32 64 Lời giải 7   1  3 1        2    Ta có:   381 S   . Chọn A. 7 1 64 1 2
Ví dụ 4. Cho cấp số nhân u có  
. Công bội của cấp số nhân đó là n  u 2,u 16 2 5 A. 4 . B. 2 . C. 2 . D. 1 . 2 Lời giải
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: n 1 u u q    . n 1 u   2 u  q  2 Ta có: 2 1 3   
 q  8 q  2 . Chọn B. 4 u   16 5 u   q  16 1
Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai
Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Ví dụ 5. Cho cấp số cộng u có số hạng đầu 3 u  , công sai 1 d  . n  1 2 2
a) Công thức cho số hạng tổng quát u n   . n 1 3
b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.
c) 15 một số hạng của cấp số cộng đã cho. 4
d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng u bằng 2620 . n  Lời giải Số hạng tổng quát 3 1 n
u  u  n  d   n     với mọi n  2 . n 1 1 1 1     2 2 2 Xét n *
5 1  n  8
; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho. 2 Xét 15 n 11 *  1  n 
 ; suy ra 15 không là một số hạng của cấp số cộng đã cho. 4 2 2 4  3   1 100 2 100 1       
Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là:  2 2 S    2625. 100 2 Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
Ví dụ 6. Cho cấp số nhân u với công bội q  0 và u  4,u  9 . n  2 4 a) Số hạng đầu 8 u   . 1 3 b) Số hạng 27 u  . 5 2 c) 2187  là số hạng thứ 8. 32
d) Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là 55 . 6 Lời giải 3 Ta có: 3 u u q 9 3 4 1 2
u  u q  4,u  u q  9  
  q  q   q  0 . 2 1 4 1   u u q 4 2 2 1 Thay 3  3  8
q   vào u , ta được: u     4  u   . 2 2 1 1  2  3
Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu 8
u   và công bội 3 q   . 1 3 2 n 1 
Khi đó số hạng tổng quát 8  3 u      . Do đó, 27 u   . n 3  2    5 2 7 2187 8  3       nên 2187 
không phải là số hạng thứ 8. 32 3  2    32 5 8   3  1       3    2   
Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là   55 S    . 5  3  6 1   2   Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
Dạng III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn
Ví dụ 7. Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn
dãy trước đó 4 ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế? Lời giải
Gọi u ,u ,,u lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, . ., dãy ghế thứ 30. 1 2 30
Khi đó, u là một cấp số cộng có số hạng đầu u 15 , công sai d  4 (trong đó 1 n  30 ). n  1
Gọi S là tổng số ghế trong khán phòng. 30 Ta có: 30
S  u  u  u 
2u  30 1 d   15 215 29 4  2190 . 30 1 2 30  1      2
Đáp án: 2190 .
Ví dụ 8. Chu kì bán rã của Iôt phóng xạ 131I 53
dùng trong y tế là 8 ngày (nghĩa là sau 8 ngày khối lượng
của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ 131I 53 sau 80 ngày là
bao nhiêu gam (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). Lời giải
Kí hiệu u (gam) là khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ 131I sau n chu kì bán rã. n 53
Ta có 80 ngày gồm 80 10 chu kì bán rã. 8
Như thế, khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ 131I 53
sau 80 ngày (10 chu kì) là u . 10
Vì cứ sau một chu kì thì khối lượng của Iôt phóng xạ 131I 53
chỉ còn một nửa nên ta suy ra dãy số u là n 
một cấp số nhân với số hạng đầu 200 u  100 1 và công bội 1 q  . 2 2 9 Do đó  1 u  0 1 0      0,195 (gam). 10  2 
Đáp án: 0,195.
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 2  ; 4  ; 6  ; 8  .
B. 1;3;6;9;12 . C. 1; 3  ; 7  ; 1  1; 1  5 . D. 1; 3  ; 5  ; 7  ; 9  .
Câu 2. Cho cấp số cộng u với u  2 và u  8 . Công sai của cấp số cộng đã cho bằng n  1 2 A. 10 . B. 6 . C. 4 . D. 6  .
Câu 3. Cho cấp số cộng u , biết: u  3, u  1. Chọn đáp án đúng. n  1 2 A. u  4 . B. u  7 . C. u  2 . D. u  5. 3 3 3 3
Câu 4. Số hạng đầu u và công sai d của cấp số cộng u có u  5 và u  2u  5 là n  u 1 9 2 13 6