Chuyên đề Đạo hàm và khảo sát hàm số (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHUYÊN ĐỀ 3. ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đạo hàm 1.1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f x xác định trên khoảng a;b và điểm x thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn hữu 0
f x  f x0  hạn lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y  f x tại x và được kí hiệu x 0 0 x x  x0
là f x hoặc y . 0  0 x
1.2. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm
Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm Vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương
trình s  s t , với s  s t  là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0
là đạo hàm của hàm số s  s t  tại t :v t  s t . 0  0   0 
1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
• Đạo hàm của hàm số y  f x tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm 0 M x ; f x . 0  0  0 
• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f x tại điểm M x ; f x là 0  0  0 
y  f x x  x  f x . 0   0   0
1.4. Đạo hàm của hàm hợp
Nếu hàm số u  g x có đạo hàm tại x là u và hàm số y  f u có đạo hàm tại u là y thì hàm hợp x u
y  f g x có đạo hàm tại x là y  y u . x u x
1.5. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp
Đạo hàm của hàm số sơ
Đạo hàm của hàm hợp
cấp cơ bản thường gặp
(ở đây u = u(x))  nx n 1  n  x   nu n 1
 nu  u 1    1       1 u     2    x  x 2  u  u    x  1    u u  2 x 2 u
sin x  cos x
sinu  ucosu
cos x  sin x
cosu  usinu   x 1 tan  tan  u u  2 cos x 2 cos u   x 1 cot   cot  u u   2 sin x 2 sin u  x x e  e  u  u e  ue  x x a  a ln a  u  u a
 ua  lna   1  ln x  ln  u u  x u   x   log  u u  a  a  1 log x ln a u ln a
1.6. Quy tắc tính đạo hàm
Cho u  u x, v  v x là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và C là hằng số. Ta có:
Đạo hàm của hàm hằng C  0
u  v  u v
Đạo hàm của tổng, hiệu
u v  uv
u v  uv  vu Đạo hàm của tích
 C u  C u
 u  uv  vu  v  v x    0 2      v  v
Đạo hàm của thương  C  C u    u  u x    0 2      u  u
2. Tính đơn điệu của hàm số 2.1. Định lí
Giả sử hàm số y  f x có đạo hàm trên K  , trong đó K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.
• Nếu f x  0, x
  K và f  x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y  f x đồng biến trên K.
• Nếu f x  0, x
  K và f  x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y  f x nghịch biến trên K.
• Nếu f x  0, x
  K thì hàm số y  f x không đổi trên K.
2.2. Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y  f x .
Bước 2. Tính đạo hàm f x . Tìm các điểm x i 
n mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc i  1,2,. .,  không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của f x hoặc bảng xét dấu của i f x .
Bước 4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
 Chú ý: Ta cũng có thể nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng cách quan sát hình dáng của đồ thị đi
lên (hàm số đồng biến) hoặc đi xuống (hàm số nghịch biến).
3. Cực trị của hàm số 3.1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f x liên tục trên tập K  , trong đó K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và x  K . 0
• Điểm x gọi là điểm cực đại của hàm số y  f x nếu tồn tại một khoảng a;b sao cho 0
x  a;b  K và f x  f x , x
  a;b \ x . 0       0 0  
Khi đó f x gọi là giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số y  f x . 0 
• Điểm x gọi là điểm cực tiểu của hàm số y  f x nếu tồn tại một khoảng a;b sao cho 0
x  a;b  K và f x  f x , x
  a;b \ x . 0       0 0  
Khi đó f x gọi là giá trị cực tiểu (hay cực tiểu) của hàm số y  f x . 0 
Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số đó; giá trị cực đại
(cực đại) và giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số đó.
Nếu x là điểm cực trị của hàm số y  f x thì điểm M x ; f x
được gọi là điểm cực trị của đồ thị 0  0  0
hàm số y  f x . 3.2. Định lí
Cho hàm số y  f x liên tục trên khoảng a,b chứa điểm x và có đạo hàm trên các khoảng a; x0  0
và  x ;b . Khi đó: 0 
• Nếu f  x  0 với mọi xa;x và f x  0 x
  x ;b thì hàm số y  f x đạt cực tiểu tại điểm 0  0  x . 0
• Nếu f  x  0 với mọi xa; x và f x  0 x
  x ;b thì hàm số y  f x đạt cực đại tại điểm 0  0  x . 0
3.3. Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f x .
Bước 2. Tính đạo hàm f x . Tìm các điểm x i 
n mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc i  1,2,. .,  không tồn tại.
Bước 3. Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số f x hoặc bảng xét i
dấu f x .
Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị của hàm số.
4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 4.1. Định nghĩa
Cho hàm số y  f x xác định trên tập hợp D .
• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x trên D nếu f x  M với mọi x D và tồn
tại x  D sao cho f x  M . Kí hiệu M  max f x . 0  0 D
• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x trên D nếu f x  m với mọi x D và tồn
tại x  D sao cho f  x  m . Kí hiệu m  min f x. 0  0 D
4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm
• Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta thường vẽ bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng
biến thiên, ta có thể chỉ ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Giả sử hàm số y  f x liên tục trên đoạn  ;
a b và có đạo hàm trên khoảng a;b , có thể trừ một số
hữu hạn điểm. Nếu f  x  0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng a;b thì ta có quy tắc tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn  ; a b như sau:
Bước 1. Tìm các điểm x , x ,. ., x thuộc khoảng a;b mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không 1 2 n tồn tại.
Bước 2. Tính f a, f x , f x , . . , f x f b . n , 1   2     
Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m .
M  max f x Khi đó:  a;b  . m   min f x  a;b  Chú ý:
• Nếu y  f x đồng biến trên  ;
a b thì min f x  f a và max f x  f b. a;b a;b