Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHUYÊN ĐỀ 4. NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Nguyên hàm 1.1. Định nghĩa a) Định nghĩa
Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực .
Cho hàm số f x xác định trên K . Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K
nếu Fx  f x với mọi x thuộc K . b) Nhận xét
 Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x trên K . Khi đó:
– Với mỗi hằng số C , hàm số F x C là một nguyên hàm của f x trên K;
– Nếu G x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì tồn tại hằng số C sao cho
G x  F x C với mọi x thuộc K .
Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f x trên K đều có dạng F x C , với C là một hằng số. Ta
gọi F x C, C 
là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên K , kí hiệu f xdx  và viết: f
 xdx  F xC .
 Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . Ta có F
 xdx  F xC . c) Chú ý
Biểu thức f xdx gọi là vi phân của nguyên hàm F x của f x , kí hiệu dF x .
Vậy dF x  Fxdx  f x dx .
1.2. Tính chất của nguyên hàm
Cho f x , g x là hai hàm số liên tục trên K .  kf
 xdx  k f
 xdx với k là hằng số khác 0;   f
 x g x dx  f 
 xdx  g  x dx ;   f
 x g x dx  f 
 xdx  g  x dx .
1.3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp 0 dx  C 
1 dx  dx  x  C    1  1  d x x x   C    1  
dx  ln x  C   1 x x exd  ex x  C  xd a a x   C 
a  0, a 1 ln a
cos xdx  sin x  C  sin d
x x  cos x  C 
1 dx  tan xC 
1 dx  cot xC 2 cos x  2 sin x 2. Tích phân 2.1. Định nghĩa a) Định nghĩa
Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a;b . Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên đoạn a;b thì b
hiệu số F b  F a được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x , kí hiệu f xdx  . Do đó, a b f
 x  F xb  F b F a. a a b) Chú ý b b b
– Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến: f
 xdx  f
 udu  f
 t dt . . a a a a b a – Quy ước: f
 xdx  0; f
 xdx   f  x dx . a a b
c) Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số y  f x liên tục và không âm trên đoạn a;b thì
b f xdx 
là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị a
hàm số y  f x , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  . b b Vậy S  f  xdx . a
2.2. Tính chất của tích phân
Cho các hàm số f x , g x liên tục trên đoạn a; b. Khi đó, ta có: b b b   f
 x g x dx  f 
 xdx  g  x dx ; a a a b b b   f
 x g xdx  f 
 xdx  g  xdx ; a a a b b  kf
 xdx  k f
 xdx (với k là hằng số); a a b c b  f
 xdx  f
 xdx  f
 xdx a  c b . a a c
2.3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản  1 b b   1   1   x b  a  Với   1
 , ta có: x dx    ;  1  1 a a b  Với hàm số   1 f x 
liên tục trên đoạn  ;
a b, ta có: 1 dx  ln b
x  ln b  ln a x  ; a x a b  sin d x x  cos b
x  cos a cosb  ; a a b  cos d x x  sin b
x  sin b sin a  ; a a 1 b 1
 Với hàm số f  x 
liên tục trên đoạn  ; a b, ta có: dx  cot b
x  cot a  cot ; b 2 sin x  2 sin a x a 1 b 1
 Với hàm số f  x 
liên tục trên đoạn  ; a b, ta có: dx  tan b
x  tan b  tan a 2 cos x  ; 2 cos a x a x a   a  a
 Với a  0,a  1 , ta có x a dx    .  ln a ln a  
→ Từ công thức trên, ta có: xd x
e x  e   e  e  .  
3. Ứng dụng hình học của tích phân
3.1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
Cho hàm số y  f x liên tục trên đoạn  ;
a b . Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hàm số y  f x , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b được tính bởi công thức: b S  f  x dx. a b b
 Chú ý: Nếu f  x không đổi dấu trên đoạn  ;
a b thì S  f
 x dx  f  xdx . a a
b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b
Cho hai hàm số y  f x và y  g x liên tục trên đoạn  ;
a b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
của hai hàm số y  f x , y  g x và hai đường thẳng x  a, x  b được tính bởi công thức: b S  f
 x gx dx . a
 Chú ý: Nếu hiệu f  x  g  x không đổi dấu trên đoạn  ; a b thì b b S  f
 x gx dx   f
 x gxdx  . a a
3.2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
a) Tính thể tích vật thể
Cho một vật thể trong không gian Oxyz . Gọi H  là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại các điểm có hoành độ x  a, x  b . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ là x a  x  b cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S x . Giả sử S x là hàm số liên tục trên  ; a b.