Chuyên đề Thống kê (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHỦ ĐỀ 7. THỐNG KÊ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các số đặc trưng của mẫu số liệu không ghép nhóm
1.1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm a) Số trung bình
 Giả sử ta có một mẫu số liệu là x , x ,. ., x . Cỡ mẫu của dãy số liệu là n . 1 2 n
Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu x , được tính bởi công thức
x  x  . . x 1 2 n x  . n
 Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số Giá trị x x x 1 2 … k Tần số n n n 1 2 … k Bảng 1
Khi đó, công thức tính số trung bình trở thành
n x  n x  . . n x 1 1 2 2 k k x  , trong đó cỡ mẫu n
n  n  n . . n . 1 2 k n  Kí hiệu k f 
là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x trong mẫu số liệu. Khi đó, số trung k n k
bình còn có thể biểu diễn là x  f x  f x  . . f x . 1 1 2 2 k k
Ý nghĩa: Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm
của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu. b) Trung vị
Sắp xếp lại mẫu số liệu là x , x ,. ., x theo thứ tự không giảm, ta được dãy * * *
x  x  . .  x . 1 2 n 1 2 n
Số trung vị của mẫu số liệu trên là giá trị ở chính giữa dãy * * *
x , x ,. ., x . Cụ thể: 1 2 n
– Nếu n  2k 1,k  , thì số trung vị là * x . k 1 
– Nếu n  2k,k  , thì số trung vị là 1  * * x  x . 1   2 k k
Ý nghĩa: Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá
trị bất thường. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường người ta thường dùng trung vị đại diện cho các số liệu thống kê. c) Tứ phân vị
Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm 3 giá trị, đó là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu
là Q ,Q ,Q ). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể: 1 2 3
– Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q , chính là số trung vị của mẫu. 2
– Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q , là số trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q (không bao gồm Q 1 2 2 nếu n lẻ).
– Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q , là số trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q (không bao gồm Q 3 2 2 nếu n lẻ). d) Mốt
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất của mẫu số liệu. Một mẫu số liệu có thể không có mốt, có một mốt hoặc có nhiều mốt.
Ý nghĩa: Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
1.2. Các số đặc trưng đo độ phân tán a) Khoảng biến thiên
Sắp xếp lại mẫu số liệu là x , x ,. ., x theo thứ tự không giảm, ta được dãy * * *
x  x  . .  x . 1 2 n 1 2 n
Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu R , là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
mẫu số liệu đó, tức là * *
R  x  x . n 1
Ý nghĩa: Khoảng biến thiên dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì
mẫu số liệu càng phân tán. b) Khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị, kí hiệu  , là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q
Q và tứ phân vị thứ nhất Q , tức là 3 1   Q Q . Q 3 1
Một giá trị của mẫu số liệu được gọi là giá trị bất thường hay giá trị ngoại lệ nếu nó nhỏ hơn Q 1,5 1 Q
hoặc lớn hơn Q 1,5 . 3 Q
Ý nghĩa: Khoảng tứ phân vị dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì
mẫu số liệu càng phân tán.
c) Phương sai và độ lệch chuẩn
 Ta có một mẫu số liệu là x , x ,. ., x . Cỡ mẫu là n . Số trung bình là x . 1 2 n
– Phương sai của mẫu số liệu trên, kí hiệu 2
s , được tính bởi công thức 1 s 
x x 2 x x 2 x x         
x  x   x  x . n 2 1 . .  . . n  2 2 2 2 2 1 2 1 2 n   n
– Độ lệch chuẩn, kí hiệu s , là căn bậc hai (số học) của phương sai, tức là 2 s  s .
 Nếu mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số như Bảng 1 thì công thức tính phương sai trở thành 1 s n 1
 n x  n x  . . n x  x . 1 1 2 2 k k  2 2 2 2
 x x 2 n x
x 2 . . n x x         k  k 2 2 1 1 2 2 n   n
Ý nghĩa: Phương sai hoặc độ lệch chuẩn càng lớn thì số liệu càng phân tán.
2. Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm
2.1. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm a) Số trung bình
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 2. Nhóm
Giá trị đại diện Tần số a ;a x n 1 2  1 1 a ;a x n 2 3  2 2 … … … a a x n m ; m 1   m m
n  n  n . . n 1 2 m Bảng 2
 Trung điểm x của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là giá trị i
đại diện của nhóm đó. Chẳng hạn, giá trị đại diện của nhóm   a ;a là a a 1 2 x  . 1 2  1 2
 Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x , được tính theo công thức:
n x  n x  . . n x 1 1 2 2 m m x  . n
Ý nghĩa: Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu
số liệu đó khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch với số trung bình cộng. b) Trung vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 3. Nhóm Tần số Tần số tích lũy a ;a n cf  n 1 2  1 1 1 a ;a n
cf  n  n 2 3  2 2 1 2 … … … a a n
cf  n  n   n m . . m ; m 1   m 1 2 m
n  n  n . . n 1 2 m Bảng 3
Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng n , tức là n cf  nhưng n cf  . 2 k 1  2 k 2
Ta gọi r,d,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k ; cf là tần số tích lũy của nhóm k 1. k k 1 
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M , được tính theo công thức: e  n cf    1 2 k   M  r   d . e n  k    Quy ước: cf  0 . 0
Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đó. c) Tứ phân vị
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 3. n n
 Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng , tức là cf  nhưng 4 p 1  4 n
cf  . Ta gọi s,h,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm p ; cf
là tần số tích lũy của p 4 p p 1  nhóm p 1.  n cf    1  
Tứ phân vị thứ nhất Q được tính theo công thức 4 p Q  s   h . 1 1 n  p   
Tứ phân vị thứ hai Q bằng trung vị M . 2 e n 3n
 Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3 , tức là cf  nhưng 4 q 1  4 3n cf 
. Ta gọi t,l,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q ; cf
là tần số tích lũy của q 4 q q 1  nhóm q 1.  3n cf    1  
Tứ phân vị thứ ba Q được tính theo công thức 4 q Q  t   l . 3 3 n  q   
Ý nghĩa: Tứ phân vị Q ,Q ,Q của mẫu số liệu chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần chứa 25% 1 2 3 giá trị. d) Mốt
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng 3.
Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi u, g,n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm i i ; n
lần lượt là tần số của nhóm i 1, nhóm i 1 . Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M ,  n i , 1 i 1  o   
được tính theo công thức n n i i 1 M  u     g . o 2n  n    n i i 1 i 1  
Quy ước: n  0; n  . m 0 0 1
Ý nghĩa: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đó.
2.2. Các số đặc trưng đo độ phân tán của mẫu số liệu ghép nhóm