Chuyên đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHỦ ĐỀ 6. VECTƠ VÀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Vectơ trong không gian 1.1. Định nghĩa
Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. 1.2. Các khái niệm
Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các kí hiệu và các khái niệm sau: 
– Với vectơ AB , ta có:
+ Điểm A là điểm đầu; điểm B là điểm cuối. 
+ Hướng của vectơ AB : Từ A đến B .
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B gọi là giá của  vectơ AB .  
+ Độ dài của vectơ AB , kí hiệu AB , là độ dài của đoạn thẳng AB .    
– Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a, , b x, y,. .
– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có cùng hướng hoặc ngược hướng.    
– Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a  b , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
2. Các phép toán vectơ trong không gian
2.1. Tổng của hai vectơ  
Trong không gian, cho hai vectơ a , b .       
Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB  a, BC  b . Vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b , kí hiệu là   
AC  a  b .  Quy tắc cộng    Với ba điểm ,
A B,C bất kì, ta có AB  BC  AC .
 Quy tắc hình bình hành   
Cho hình bình hành ABCD, ta có AB  AD  AC .  Quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABC . D A B  C  D   .
   
Ta có AB  AD  AA  AC .
2.2. Hiệu của hai vectơ   
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ a gọi là vectơ đối của vectơ a , kí hiệu là a .    
Vectơ BA là một vectơ đối của vectơ AB , được viết là BA  AB .      
Vectơ a  b được gọi là hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu là a b.  Quy tắc trừ    Với ba điểm O, ,
A B bất kì, ta có: OA  OB  BA.
2.3. Tích của một số với một vectơ   
Trong không gian, cho số thực k  0 và vectơ a  0 . Tích của một số k với vectơ a là một vectơ, kí 
hiệu là ka , được xác định như sau:  
– Cùng hướng với vectơ a nếu k  0, ngược hướng với vectơ a nếu k  0 ; 
– Có độ dài bằng k  a . Nhận xét:  
– Ta có ka  0 khi và chỉ khi k  0 hoặc a  0 .     
– Hai vectơ a, b khác 0 là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k  0 sao cho a  kb .  
– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt ,
A B, C thẳng hàng là tồn tại số thực k  0 sao cho AB  k AC .  
Tính chất: Với hai vectơ a, b và hai số thực , h k , ta có:        
k a b  ka  kb ;
k a b  ka kb ;      
h  k a  ha  ka ;
hka  hka ;     1a  a ;
 1a  a .  Chú ý:
 Quy tắc trung điểm   
Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA  IB  0 .   
Với mọi điểm M thì MA  MB  2MI .
 Quy tắc trọng tâm của tam giác
   
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .
   
Với mọi điểm M thì MA  MB  MC  3MG .
 Quy tắc trọng tâm của tứ diện
    
Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì GA  GB  GC  GD  0 .
    
Với mọi điểm M thì MA  MB  MC  MD  4MG .
Mở rộng: Trong không gian, cho ba điểm ,
A B,C và bộ số m,n, p m  n  p  0 .    
– Tồn tại duy nhất điểm I sao cho mIA nIB  pIC  0 .    
– Với mọi điểm M thì mMA  nMB  pMC  m  n  p MI .
2.4. Tích vô hướng của hai vectơ a) Góc giữa hai vectơ   
Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm        
sao cho AB  a, AC  b. Khi đó, ta gọi BAC là góc giữa hai vectơ a và b , kí hiệu là a,b.
b) Tích vô hướng của hai vectơ      
Trong không gian, cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b , kí hiệu là a b ,          
là một số thực được xác định bởi công thức: ab  a  b cosa,b, ở đó a,b là góc giữa hai vectơ a , b .  Chú ý:    
– Quy ước nếu a  0 hoặc b  0 thì a b  0 .       
– Với hai vectơ a và b đều khác 0 , ta có a  b  a b  0       
– Với hai vectơ a và b đều khác 0 , ta có cos ,  ab a b    . a  b   
Tính chất: Với các vectơ a , b , c và số thực k tùy ý, ta có:           
a b  ba ;
a b  c  ab  ac ;       
kab  k ab  akb; 2      a  0 , trong đó 2
a  aa . Ngoài ra, 2
a  0  a  0.
3. Tọa độ của vectơ và biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
3.1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, hệ gồm ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với   
nhau và các vectơ đơn vị i, j,k lần lượt trên các trục Ox,Oy,Oz được
gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz .
– Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
– Các trục Ox,Oy,Oz được gọi là các trục tọa độ.
– Các mặt phẳng Oxy,Oyz,Oxz  được gọi là các mặt phẳng tọa độ.
– Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz .
3.2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian
– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số  ;
x y; z duy nhất sao cho    
OM  xi  yj  zk được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz . Khi đó, ta viết M   ; x y; z hoặc M  ; x ;
y z trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M . 
– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a tùy ý. Bộ ba số  ;
x y; z duy nhất sao cho      
a  xi  yj  zk được gọi là tọa độ của vectơ a đối với hệ tọa độ Oxyz . Khi đó, ta viết a   x; y; z hoặc   a ; x ;
y z trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của a .
3.3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ  
Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  x ; y ; z và v   x ; y ; z , ta có: 2 2 2  1 1 1   x  x 1 2   
 u  v  y  y ; 1 2  z   z 1 2  
 Tổng của hai vectơ: u  v  x  x ; y  y ;z  z ; 1 2 1 2 1 2   
 Hiệu của hai vectơ: u  v  x  x ; y  y ;z  z ; 1 2 1 2 1 2  
 Tích của một vectơ với một số: ku  kx ;ky ;kz k  ; 1 1 1         
 Tích vô hướng của hai vectơ: u v  u  v  cos u,v   x x  y y  z z = hằng số; 1 2 1 2 1 2  Độ dài vectơ:  2 2 2  2 2 2
u  x  y  z ; v  x  y  z ; 1 1 1 2 2 2 u v  
x x  y y  z z   
 Góc giữa hai vectơ: cos u,v  1 2 1 2 1 2    
(với u,v  0 ); 2 2 2 2 2 2 u  v
x  y  z  x  y  z 1 1 1 2 2 2 x  kx 1 2        x y z
 Hai vectơ u,v cùng phương với nhau  u  kv k  0,v 0 1 1 1
 y  ky    ; 1 2 x y z  2 2 2 z   kz 1 2  
 Hai vectơ u,v vuông góc với nhau  u v  0  x x  y y  z z  0 . 1 2 1 2 1 2
3.4. Áp dụng của tọa độ vectơ
Trong không gian Oxyz , cho các điểm Ax y z B x y z , C x y z , ta có:
C ; C ; C 
A; A; A  ,
 B; B; B  
 AB  x  x y  y z  z . B A ; B A ; B A  
 Độ dài đoạn thẳng AB : AB  AB  x  x 2  y  y 2  z  z 2 . B A B A B A
 x  x y  y z  z 
 Trung điểm của đoạn AB là A B M  ; A B ; A B . 2 2 2   