Chuyên đề Xác suất (Ôn thi Tốt nghiệp Toán 2025)

CHỦ ĐỀ 8. XÁC SUẤT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đại số tổ hợp 1.1. Quy tắc cộng
Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động:
– Hành động thứ nhất có m cách thực hiện;
– Hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một).
→ Khi đó số cách hoàn thành công việc là: m  n cách.
 Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động
k  ,k  2. 1.2. Quy tắc nhân
Một công việc phải hoàn qua hai công đoạn liên tiếp nhau:
– Công đoạn một có m cách thực hiện;
– Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có n cách thực hiện công đoạn hai.
→ Khi đó số cách hoàn thành công việc là: mn cách.
 Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc được hoàn thành bởi k hành động liên tiếp
k  ,k  2. 1.3. Hoán vị
Cho tập hợp A gồm n phần tử  *
n  . Mỗi kết quả của sự sắp xếp n phần tử của tập hợp A được gọi
là một hoán vị của n phần tử đó.
Số các hoán vị của n phần tử là: P  n n      n . n  1 . . 2 1 ! 1.4. Chỉnh hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 k  n . Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ
n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: k
A  n n    n  k  hay k n! A  . n   1 . .  1 n n  k! 1.5. Tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 k  n . Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy
ra từ n phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. k
Số các tổ hợp chập k của n phần tử với 1 k  n là: k An C  . n k! Quy ước: 0
0!1, C  . Khi đó, ta có: k n! C   k  n . n 0 n 1
k !n  k   !
2. Xác suất của biến cố
2.1. Xác suất của biến cố
 Không gian mẫu  là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
 Biến cố ngẫu nhiên (biến cố) là một tập con của không gian mẫu.
– Biến cố không thể: ;
– Biến cố chắc chắn:  ;
– Biến cố đối của biến cố A : A   \ A . n A
 Xác suất của biến cố A (theo định nghĩa cổ điển của xác suất): P  A   
, trong đó n A, n n
lần lượt là số phần tử của hai tập hợp , A  .
2.2. Tính chất của xác suất
Xét phép thử T với không gian mẫu là  . Khi đó, ta có:
 P   0; P   1 ;
 0  P  A 1 với mỗi biến cố A ;
 P  A 1 P A với mỗi biến cố A .
2.3. Biến cố hợp, biến cố giao. Hai biến cố xung khắc, hai biến cố độc lập
Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T và các kết quả của T là đồng khả năng. Khi đó, ,
A B là các tập con của không gian mẫu.
 Biến cố “ A hoặc B xảy ra” là biến cố hợp của hai biến cố A và B , kí hiệu là A  B . Biến cố hợp của
A và B là tập con A  B của không gian mẫu.
 Biến cố “Cả A và B đều xảy ra” là biến cố giao của hai biến cố A và B , kí hiệu là A  B hay AB .
Biến cố giao của A và B là tập con A  B của không gian mẫu.
 Nếu A B   thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc.
 Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm
ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.  Chú ý:
 Công thức cộng xác suất: P  A  B  P A P B  P A  B  .
 Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập: Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì
P AB  P A  B   P AP B .
3. Xác suất có điều kiện
Cho hai biến cố A và B . Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất P A  B
của A với điều kiện B , kí hiệu là P A | B. Nếu PB  0 thì P A | B    . PB
Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, suy ra: nếu PB  0 thì P A B  P B P A | B .  Chú ý:
 Công thức nhân xác suất: Với hai biến cố A và B bất kì thì
P A  B  P AP B | A  P B P A |B . n A  B
 Cho hai biến cố A và B với P B  0 . Khi đó, ta có: P  A | B    . nB
 Cho hai biến cố A và B với 0  P  A 1, 0  P B  1 . Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và
chỉ khi P A  P A | B  P A| B và PB  PB | A  PB | A .
4. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes
4.1. Công thức xác suất toàn phần
Cho hai biến cố A và B với 0  PB 1 , ta có:
P A  P A B  P A B  PB P A| B  PB P A| B. 4.2. Công thức Bayes
P B  P A | B
Cho hai biến cố A và B với P A  0, P B  0 , ta có: PB | A      . P A
Nhận xét: Với P A  0, 0  P B 1 thì công thức Bayes còn có dạng  P B  P A B P B | A    |   .
PB P  A | B  P B P A | B  II. MỘT SỐ VÍ DỤ
Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.
Ví dụ 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên không chia hết cho 5, gồm 4 chữ số khác nhau? A. 120. B. 72. C. 69. D. 54. Lời giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là abcd , từ yêu cầu bài toán ta có: d 1;2;  3 : có 3 cách chọn
a : có 3 cách chọn a  0,a  d 
Trong 3 số còn lại chọn ra 2 số lần lượt đặt vào các vị trí b,c có 2 A cách. 3
Số các số thỏa yêu cầu bài toán là 2
S  33 A  54 số. Chọn D. 3
Ví dụ 2. Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. An lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài,
rồi lấy tiếp một quả bóng nữa. Xét các biến cố:
A : “Quả bóng lấy ra lần đầu có số chẵn”;
B : “Quả bóng lấy ra lần hai có số lẻ”.
Xác định biến cố C  B | A : “biến cố B với điều kiện biết A đã xảy ra”.
A. B | A  
 2, 1;2,3;4,1;4,3.
B. B | A  
 2, 1;2,3;2,4;4,1;4,2; 4,3.
C. B | A  
 1, 1;1,3;2,1;2,3;3,1;3,3; 4,1; 4,3.
D. B | A  
 1,2;1,3;1,4;2,1;2,3; 2,4; 3,1; 3,2 ; 3,4 ; 4,1; 4,2 ; 4,3 . Lời giải Ta có A  
 2, 1;2,3;2,4;4,1;4,2;4,3; B  
 1, 1;1,3;2,1;2,3;3,1;3,3; 4,1; 4,3.
Khi đó, biến cố C  B | A  A B  
 2, 1;2,3;4,1;4,3. Chọn A.
Ví dụ 3. Một hộp chứa 11 quả cầu gồm 5 quả màu xanh và 6 quả cầu màu đỏ. Chọn ngẫu nhiên đồng
thời 2 quả cầu từ hộp đó. Xác suất để 2 quả cầu chọn ra cùng màu bằng A. 5 . B. 6 . C. 5 . D. 8 . 22 11 11 11 Lời giải
Số cách lấy ra 2 quả cầu trong 11 quả là 2
C . Suy ra n 2  C . 11 11
Gọi A là biến cố lấy được 2 quả cùng màu. Suy ra n A 2 2  C  C . 5 6 2 2 Xác suất của biến cố 
A là P A C C 5 5 6   . Chọn C. 2 C 11 11
Ví dụ 4. Cho hai biến cố A và B có P A  0,2; P B  0,6; P A| B   0,3 . Tính PAB . A. 0,18 . B. 0,42 . C. 0,24 . D. 0,02 . Lời giải
Theo công thức tính xác suất có điều kiện ta có: P AB
P A| B       P B    . PB
P AB  P A | B    0,3 0,6 0,18
Vì AB và AB là hai biến cố xung khắc và AB  AB  B nên theo tính chất của xác suất, ta có:
PAB P AB  P B P AB  P B  P AB  0,6 0,18  0,42 . Chọn B.
Ví dụ 5. Một cuộc thi khoa học có 36 bộ câu hỏi, trong đó có 20 bộ câu hỏi về chủ đề tự nhiên và 16 bộ
câu hỏi về chủ đề xã hội. Bạn An lấy ngẫu nhiên 1 bộ câu hỏi (lấy không hoàn lại), sau đó bạn Bình lấy
ngẫu nhiên 1 bộ câu hỏi. Xác suất bạn Bình lấy được bộ câu hỏi về chủ đề xã hội bằng A. 15 . B. 16 . C. 4 . D. 5 . 35 35 9 9 Lời giải