SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHÔ HÀ NÔI
NĂM HỌC 2025 – 2026 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN
Ngay thi: 10 tháng 01 năm 2026
Thời gian: 150 phút
Bai I (5,0 điêm)
1) Giai phương trinh x 4 5 x 9 .
2) Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn 2
a b c 2 1 b
1 c a 10.
Tính giá trị của biểu thức P a bb cc a.
Bai II (5,0 điêm)
1) Một tiệm bánh ngọt dự định san xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đường cần cho
mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 40 g và 60 g. Lợi nhuận thu được khi bán mõi chiếc bánh loại
I và loại II lần lượt là 12 nghin đồng và 15 nghin đồng. Biết rằng tiệm chỉ còn 14 kg đường đề làm
bánh và tiệm phai làm ít nhất 80 chiếc bánh loại I và 100 chiếc bánh loại II. Hỏi tiệm nên làm bao
nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
2) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn 2 2
a 6b 1 và 2 2
a 4ab 4b 11c 1 . Chứng
minh c chia hết cho 40.
Bai III (2,0 điêm)
Với a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1, tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
a1b b 1 c c 1 a
của biều thức P . 3 a 3 b 3 c
Bai IV (6,0 điêm)
Cho tam giác nhọn ABC AB AC, các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại điểm H .
1) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC . Chứng minh bốn điểm D, F, E, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Đường thẳng DF cắt đường thẳng BH tại điểm K . Gọi L là điểm đối xứng với điểm K qua
điểm H . Gọi P là giao điểm của đường thẳng IE và đường thẳng CH . Chứng minh đường thang
LP song song với đường thẳng HI .
3) Đường thẳng qua điểm B và vuông góc với AB cắt đường trung trực của đoạn thẳng BE tại
điểm G . Gọi Q là điểm đối xứng với điểm D qua điểm H . Chứng minh EQL EGC .
Bai V (2,0 điêm)
1) Tim tất ca số nguyên tố p,q để pq p 4 và pq q 4 đồng thời là các số chính phương.
2) Hai bạn An và Binh cùng nhau tiết kiệm tiền để ủng hộ người nghèo. Biết rằng hai bạn bắt đầu
tiét kiệm vào cùng một ngày. Sau 365 ngày, mỗi bạn đều tiết kiệm được một triệu đồng. Chứng minh
trong 365 ngày nói trên, tồn tại 183 ngày mà tổng số tiền tiết kiệm của mỗi bạn trong 183 ngày đó
không nhỏ hơn 500 000 đồng. -----HÊT------
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DÂN GIAI HÀ NÔI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHÔ ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2025 – 2026 Môn thi: TOÁN
Bai I (5,0 điêm)
1) Giai phương trinh x 4 5 x 9 .
2) Cho a,b,c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn 2
a b c 2 1 b
1 c a 10.
Tính giá trị của biểu thức P a bb cc a. Lời giải
1) Điều kiện xác định x 5. Phương trinh đã cho trơ thành:
5 x 4 5 x 4 0 x 2 5 2 0 5 x 2
Giai tim được x 1. Thử lại nghiệm này thoa mãn phương trinh.
Vậy phương trinh đã cho có nghiệm duy nhất x 1.
2) Từ gia thiết ta có 2
a b c 2 1 b
1 c a , khai triển ta có 2 2 2 2
a b a c b c b c b a c a 2 2 2 2
a b a c b c b c b a c a 0 2 2
a b b a 2 2
a c b c b a 0
aba b ca ba b a b 0
a bab ca cb 1 0
Lưu ý rằng a,b,c là đôi một phân biệt, nên ab bc ca 1. Suy ra 2 2
a 1 a ab bc ca a ba c . Do đó 2 10 a
1 b c a bb cc a . Vậy P 1 0.
Bai II (5,0 điêm)
1) Một tiệm bánh ngọt dự định san xuất hai loại bánh cho một đơn hàng. Lượng đường cần cho
mỗi chiếc bánh loại I và loại II lần lượt là 40 g và 60 g. Lợi nhuận thu được khi bán mõi chiếc bánh loại
I và loại II lần lượt là 12 nghin đồng và 15 nghin đồng. Biết rằng tiệm chỉ còn 14 kg đường đề làm
bánh và tiệm phai làm ít nhất 80 chiếc bánh loại I và 100 chiếc bánh loại II. Hỏi tiệm nên làm bao
nhiêu chiếc bánh mỗi loại để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
2) Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn 2 2
a 6b 1 và 2 2
a 4ab 4b 11c 1 . Chứng
minh c chia hết cho 40. Lời giải 1) Gọi , x y , x y
lần lượt là số bánh loại I , II cần san xuất thi theo gia thiết: x 80 y 100
40x 60y 14000 hay 2x 3y 700
Ta cần tim x, y sao cho lợi nhuận thu được A 12x 15y (nghin đồng) dạt giá trị lớn nhất.
Ta có A 12x 15y 62x 3y 3y 6700 3100 3900 .
2x 3y 700 x 200
Dấu bằng xay ra khi và chỉ khi hay (thỏa mãn x 80). y 100 y 100
Vậy tiệm nên làm 200 bánh loại I và 100 bánh loại II. 2) Nếu b lẻ thi 2
b 1 mod 8 nên 2 2
a 6b 1 7mod 8 vô lý. Do đó b chẵn nên a lẻ. Suy ra 2
(a 2b) 1 mod8 nên 2
11c (a 2b) 1 0 mod 8
Do 11,8 1 nên 8∣c .
Nếu ab không chia hết cho 5 thi 2 2
a ,b 1,4 mod 5 . Suy ra 2 2
a 6b 0,2,3 mod 5 (mâu thuẫn với gia thiết) nên 5∣ab .
Từ gia thiết cũng suy ra 2 2
a 4b 1 mod 5 nên c 2 2 11
a 4b 4ab 1 0 mod 5 .
Do 11,5 1 nên 5∣c .
Vậy ta có 8∣c và 5∣c . Kết hợp với 5,8 1 suy ra 40∣c .
Bai III (2,0 điêm)
MUA NGAY ĐỂ XEM TOÀN BỘ TÀI LIỆU
CÁCH MUA:
- B1: Gửi phí vào TK:
1133836868- CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR) - B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official ( nhấn vào đây ) để xác nhận thanh toán và tải tài liệu - giáo án
Liên hệ ngay Hotline hỗ trợ: 084 283 45 85
Đề thi được cập nhật thêm mới liên tục hàng năm sau mỗi kì thi trên cả nước. Chúng tôi đảm bảo đủ số lượng đề đã cam kết hoặc có thể nhiều hơn, tất cả có BẢN WORD, LỜI GIẢI CHI TIẾT và tải về dễ dàng.
Để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút Tải Xuống ở trên!
Bộ tài liệu bao gồm: 30 tài liệu lẻ (mua theo bộ tiết kiệm đến 50%)
- Tailieugiaovien.com.vn giới thiệu Bộ 46 đề thi Học sinh giỏi Toán lớp 9 bao gồm: 1 đề thi năm 2026, 15 đề thi pdf có đáp án, 30 đề thi bản word có đáp án nhằm giúp Giáo viên có thêm tài liệu tham khảo Toán lớp 9.
- File word có lời giải chi tiết 100%.
- Mua trọn bộ sẽ tiết kiệm hơn tải lẻ 50%.
Đánh giá
4.6 / 5(10230 )5
4
3
2
1
Trọng Bình
Tài liệu hay
Giúp ích cho tôi rất nhiều
Duy Trần
Tài liệu chuẩn
Rất thích tài liệu bên VJ soạn (bám sát chương trình dạy)
TÀI LIỆU BỘ BÁN CHẠY MÔN Toán Học
Xem thêm-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có tự luận150.000 ₫ 30.8 K 15.4 K lượt tải
-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có tự luận150.000 ₫ 8.6 K 4.3 K lượt tải
-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức Cấu trúc mới150.000 ₫ 557 279 lượt tải
-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án150.000 ₫ 898 449 lượt tải
-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có tự luận150.000 ₫ 12.9 K 6.5 K lượt tải
-
Bộ 15 đề thi Cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới150.000 ₫ 808 404 lượt tải
-
Bộ 3 đề thi khảo sát chất lượng đầu năm Toán 9 năm 2025 (có đáp án)60.000 ₫ 5.6 K 2.8 K lượt tải
-
Đề cương ôn tập Cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều80.000 ₫ 1.2 K 608 lượt tải
TÀI LIỆU BỘ BÁN CHẠY Lớp 9
Xem thêm-
Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Ngữ văn 9 Kết nối tri thức có đáp án150.000 ₫ 19.8 K 9.9 K lượt tải
-
Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Tiếng Anh 9 Global success có đáp án150.000 ₫ 13.2 K 6.6 K lượt tải
-
Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Tiếng Anh 9 Ilearn Smart world có đáp án150.000 ₫ 6 K 3 K lượt tải
-
Đề thi cuối kì 1 KHTN 9 Kết nối tri thức (form mới50.000 ₫ 5.3 K 2.6 K lượt tải
-
Bộ 25 Đề thi HSG Vật Lí 9 năm 2025 (có lời giải)150.000 ₫ 1.9 K 0.9 K lượt tải
-
Bộ đề thi cuối kì 1 Công nghệ 9 Kết nối tri thức Lắp đặt mạng điện trong nhà50.000 ₫ 5.5 K 2.7 K lượt tải
-
Đề thi cuối kì 1 KHTN 9 Cánh diều (form mới50.000 ₫ 2.6 K 1.3 K lượt tải
-
Bộ 2 đề thi cuối kì 1 Lịch sử 9 Kết nối tri thức Cấu trúc mới70.000 ₫ 1.4 K 693 lượt tải
Nhắn tin Zalo